资源简介

2024-2025 学年湖南省永州一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 + 2 = 2 ，则| | =( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
2.若全集 = ， = { | = ln(2 )}， = { | = 2 , ∈ }，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.若向量 , 满足| | = 2| | = 8，且( ) = 48，则 , 的夹角为( )
A. 2 6 B. 3 C. 2 D. 3
4.( 2)5的展开式中， 2的系数为( )
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10
5.若 = 2 是函数 ( ) = ( 2 + 1) 1的极值点，则 ( )的极小值为( )
A. 1 B. 2 3 C. 5 3 D. 1
2
6
2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与圆( 2)
2 + 2 = 3 相切，则双曲线 的离心率为
( )
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
7.已知正四棱锥的侧棱长为 3 3，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
8.已知 ( ) = 2(1 + 4 ) + ，则满足 (2 3) < ( )的实数 的取值范围为( )
A. (1,3) B. ( 32 , 3) C. ( ∞,3) D. (3, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 (0,1)，设函数 ( ) = ( ≤ )，则下列说法正确的是( )
A. (0) = 1 B. ( )是偶函数
C. ( ) 1的图象关于点(0, 2 )中心对称 D. ( )是增函数
10.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数， ( + 1)是定义在 上的奇函数，则( )
A. ( )的图象关于点(1,0)中心对称 B. ( )是周期为 2 的函数
C. (2027) = 0 D. 19 =1 ( ) = 0
11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在△ 中， = 1，
边上的高等于 ，以△ 的各边为直径向△ 外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为 ，
第 1页，共 8页
其“直径”为 ，则( )
A. 2 + 2 = 3 B. △ 5面积的最大值为 4
C. 5+1 6+1当∠ = 2时， = 2 D. 的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = ln( 2+ 1)为奇函数，则实数 的值是______．
13.已知数列{ }满足 1 + 2 2 + … + 2 1 = 2
1
，则数列{ }前 100 项和为______． +1
14.若 ， 为正实数，函数 ( ) = ( + 1) + ( + 2)2在 ∈ 上单调递增，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
{ } = 3 = 3 已知数列 的首项 1 5，且满足

+1 2 ． +1
(1) 1求证：数列{ 1}为等比数列．
(2) 1 + 1 + 1若 + +
1
< 100，求满足条件的最大整数 ．1 2 3
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = + 1．
(1)若在(1, (1))处的切线斜率为 1，求 ；
(2)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 3 2中， ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， = = = 2， = 2 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 ⊥ ， 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
2
+
2
已知椭圆 ： 2 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)， ， 分别为椭圆 的左、右顶点， ， 分别为椭圆
第 2页，共 8页
的上、下顶点，四边形 的面积为 4 3．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)过点 且斜率不为 0 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，直线 与 的交点为 ．
( ) 若直线 的倾斜角为6，求线段 的长度；
( )试问∠ 是否有最大值？如果有，求出∠ 的最大值；如果没有，说明理由．
19.(本小题 17 分)
《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑
力对决.现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．
(1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为
1 1 1
2 , 3，4，求该擂主连胜三局的概率．
(2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局，比赛进行到一方比另
一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每
局比赛结果相互独立．
( )若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 ( )的最大值；
2
( ) 若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件 ，证明： ( ) = 2+ 2．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.2551
14. 2 + 1
15.(1) 3 1 1 1 2证明：由 +1 = 2 +1，得 = 3 + +1 3，
1 1 1 3 1 2
则 1 = ( 1)，又 1 = +1 3 5
， 1 = ≠ 0，1 3
∴ 1数列{ 1}
2 1
是以3为首项，以3为公比的等比数列；
(2) (1) 1 1 = 2 1解：由 可得， ( ) 1 = 2 3 3 3 ，
∴ 1 =
2
3
+ 1，
1 + 1 1 1 1 1 1 1则 1
+ + . . . + = 2( + + + . . . + ) +
2 3 3 32 33 3
1
3(1
1 )
= 2 × 3 1 + = 1
1
3 + ．1 3
1 + 1 + 1由 + +
1 1
1 2 3
< 100，得 1 3 + < 100，
1即 3 < 99，
∵ = 1 ∴ 13 为单调增函数， 满足 3 < 99 的最大正整数 为 99．
即满足条件的最大整数 = 99．
第 4页，共 8页
16. (1) ( ) = 1 解： ′ 2

2，则 ′(1) = 1 = 1，所以 = ；
(2) ( ) = + 1 =
+
≥ 0 恒成立，
因为 > 0，等价于 + ≥ 0 恒成立，
令 ( ) = + ，则 ′( ) = (1 + )( 1 )，
( ) = 1令 ， ′( ) =
+ 1 2 > 0， ( )在(0, + ∞)上是增函数，
1 1 1
由于 ( ) = 22 2 < 0， (1) = 1 > 0， 0 ∈ ( 2 , 1)， ( 0) = 0，即 ′( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)， ′( ) < 0，当 ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
1
因为 ( 0) = 0，所以 0 = ， 0 = 0，0
所以 ( ) = ( 0) = 0 0 0 0 + = 1 + 0 0 + ≥ 0，
所以 ≥ 1，即 的取值范围是[ 1, + ∞)．
17.解：(1)证明：连接 ，过 作 ⊥ 于 ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ；
(2)由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ = 1，∴ ∠ = 2∠ ，∵ ⊥ ，∴ ∠ = 45°，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
第 5页，共 8页
则 (0,0,0)， (0,2,0) 3 3， ( 2 , 0, 2 )， (0,0,2)，则 (0,1,1)，
∴ = (0,2,0)， = ( 32 , 0,
3
2 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则
= 3
，令 = 1，则 = 1， = 0，
2 +
3
2 = 0
∴平面 的一个法向量为 = (1,0, 1)，
又 = ( 32 , 1,
1
2 )，
∴ cos <

>=
= 2 = 2 7， ，| | | | 2× 9+1+1 74 4
∴ 2 7与平面 所成角的正弦值为 7 ．
18.解：(Ⅰ)由题意可得四边形 的面积 = 2 = 4 3，
因为右焦点 (1,0)，
所以 = 1，
又 2 = 2 + 2，
解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1；
(Ⅱ)( )由题意可得 ( 2,0)， (2,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 2 ≠ 0，

若直线 的倾斜角为6，直线 的方程为 = 3 + 1，
2 +
2
4 3 = 1联立 ，得 13 2 + 6 3 9 = 0，
= 3 + 1
所以 1 + =
6 3 9
2 13 ， 1 2 = 13，
第 6页，共 8页
2 6 3 2| | = (1 + 3 )[( + )2 4 ] = (1 + 3) + 4×9 48所以 1 2 1 2 13 13 = 13；
( )设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 2 ≠ 0，直线 的方程为 = + 1，
2 2
4 +

联立 3 = 1 ，得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
= + 1
所以 1 + 2 =
6 9
3 2+4， 1 2 = 3 2+4，

设直线 ， 的斜率分别为 1， 2， = 11 +2，
2
2 =
1 2 2
，
9 6 3
+ 2 +
所以 1 = 1( 2 2) = 1( 2 1) = 1 2 1 = 3 2+4 3 2+4 = 3 2+4
2 1
2 ( 1+2) 2 ( 1+3) 2 1 2+3 9
= ，
2 2 +3
9
3 +4 2
3
3 2
+3
+4 2
所以 2 = 3 1，
tan∠ = | 1 2| 2| 1| 2 2 31+ = = = ，1 2 1+3 2 11 2 3 3| |+3| 1 1|
| 3 3所以当 1| = 3 时，tan∠ 的最大值为 3 ，
所以∠ 的最大值为 30°．
19.(1) = 1 × 1 1 1由相互独立事件同时发生的概率知，所求的概率为 2 3 × 4 = 24；
(2)( )因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则 + = 1，
由题意得 的所有可能取值为 2，4，5，
( = 2) = 2 + 2，
( = 4) = ( + ) 2 + ( + ) 2 = 2 ( 2 + 2)，
( = 5) = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = 4 2 2，
所以 的分布列为：
2 4 5
2 + 2 2 ( 2 + 2) 4 2 2
所以 的期望为： ( ) = 2( 2 + 2) + 8 ( 2 + 2) + 20 2 2
= 2(1 2 ) + 8 (1 2 ) + 20 2 2 = 4 2 2 + 4 + 2，
由 1 = + ≥ 2 1 1 1，得 ≤ 4，当且仅当 = = 2取等号，则 0 < ≤ 4，
因此 ( ) = 4 2 2 + 4 + 2 = (2 + 1)2 + 1 ≤ (2 × 1 24 + 1) + 1 =
13
4，
所以 ( ) 13的最大值为 4；
第 7页，共 8页
( )证明：设事件 ， 分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是 ， ， ， ，
其中事件 表示“甲赢得比赛”，事件 表示“乙赢得比赛”，
事件 ， 表示“甲、乙各得 1 分”，当甲、乙得分总数相同时，
甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以 ( ) = ( ) 1 + ( ) 0 + ( ) ( ) + ( ) ( )
= ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
= 2 + ( ) + ( ) = 2 + 2 ( )，
2
因此(1 2 ) ( ) = 2 ，得 ( ) = 1 2 ，而 + = 1，
2 2 2
所以 ( ) = ( + )2 2 = 2+2 + 2 2 = 2+ 2．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑