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2024-2025 学年安徽省阜阳市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = {0,1,2,3}， = { | ≥ 2}，则 ∩ ( ) =( )
A. {0,1,2} B. {2,3} C. {0,1} D. {1,2}
2.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0 时， ( ) = (1 + )，则当 < 0 时， ( ) =( )
A. (1 + ) B. (1 + ) C. (1 ) D. (1 )
3 ( ) = sin( .函数 )ln( + 2 )的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.对于随机事件，下列说法错误的是( )
A.如果事件 与事件 互为对立事件，那么 ( ) = 1 ( )
B.如果事件 与事件 满足 ，那么 ( ) ≤ ( )
C.如果 ， 是一个随机试验中的两个事件，那么 ( ∪ ) = ( ) + ( )
D.对任意两个事件 与 ，如果 ( ) = ( ) ( )，那么事件 与事件 相互独立
5 .已知平面向量 ， 的夹角为3，且| | = 2，
= ( 2,1)，则 在 上的投影向量是( )
A. ( 5 2 5 2 5 55 , 5 ) B. ( 5 , 5 ) C. (
2 5 , 5 ) D. ( 5 , 2 55 5 5 5 )

6.已知 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) =
, < 1, ( 1) ( 2)
2 + 4 , ≥ 1.若对任意的 1 ≠ 2，都有 < 0，则 的取值1 2
范围是( )
A. (0, 12 ] B. (0,
1 1 1 1
3 ] C. [ 3 , 2 ] D. ( 3 , 1)
7.年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和.观察下列两个图表，则下列说法错误的是( )
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A. 2020 至 2024 年第一产业增加值逐年下降
B. 2020 至 2024 年第二产业增加值逐年升高
C. 2020 至 2024 年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高
D. 2020 至 2024 年全省地区生产总值逐年增长
8 1 1.定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( + 2) = 0， ( + 1)是偶函数，且 ( 2 ) = 1，则使 =1 ( 2 ) ≥
2025 成立的最小正整数 等于( )
A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为复数， 为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A.若 = 52+ ，则| | = 5 B. | |
2 =
C.若| + 1| = | 1|，则 为纯虚数 D.若| | = 1，则| 2|的最小值为 1
10.一块长方体形木料如图所示， = 2， = 1 = 3，点 为对角线 1 1的中点，过点 将木料锯开，
使得截面过 ，则( )
A. ⊥
B.截面的面积为 2 3
C.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱
D.以点 为球心， 为半径的球面与截面的交线长为
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11.三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线
(零线)电压为 0 = 0，三根相线(火线)电压分别为 = ，
2
= ( + 3 )， = ( +
4
3 )，
其中 = 100 (单位： / )， = 220 2(单位： ).三根相线间的电压叫线电压，记 = ， =
， = ，线电压的最大值分别为 ， ， ，有效值分别为 , 2 2 , 2，则下列说法
正确的是( )
A.三根相线电压的频率均为 50(单位： )
B. + + = 0
C.当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值
D. 线电压的有效值 2 = 2 = 2 = 220 3(单位： )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某跳水运动员的 10 次训练成绩分别为 65，80，73，67，69，83，76，70，74，82，则这组数据
的第 60 百分位数是______．
13.已知甲：log2 ≤ 2，乙： < < + 2，若甲是乙的必要不充分条件，则实数 的取值范围是______．
14.在等腰梯形 中，已知 // ， = 4， = 2，∠ = 60°.动点 和 分别在线段 和 上，
且 = ， = 14
，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + 4 ．
(1)判断 ( )在区间[2, + ∞)上的单调性，并证明你的判断；
(2)设函数 ( ) = 1 + ，若 ( )在区间[2,4]上的值域为 ， ( )在区间[2,8]上的值域为 ，且 ，求
2
实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的面积为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
3 3
从① =
2 2 2
1+ ，② = 4 ( + )两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题．
(1)求角 的大小；
(2)延长 至 点，延长 至 点，连接 ，若 = = 3， = 3，证明： = ．
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17.(本小题 15 分)
如图 1 所示，在平行四边形 中， ⊥ ，垂足为 ， = = = 2，将△ 沿 折到△
的位置，如图 2 所示．
(1)若平面 ∩平面 = ，判断直线 与平面 的位置关系，并给出证明；
(2)当二面角 的大小为 60°时，求四棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段.为了解初赛情况，现从高一
年级随机抽取了 200 名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计高一年级初赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．
(2)按照比例分层随机抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了 5 名学生，现从已抽取的 5 名学生中随机
抽取 2 名，求至少有 1 名学生的成绩在[60,70)内的概率．
(3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考 2 门学科，每科笔
试成绩从高到低依次有 +， ， ， ， 五个等级，若两科笔试成绩均为 +，则不需要进行第二轮面试就
直接通过决赛，若一科笔试成绩为 +，另一科笔试成绩不低于 ，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过
2 1 1 1 3
决赛，其他情况均不能通过决赛.甲在每科笔试中取得 +， ， ， ， 的概率分别为5、6、12、5、20，乙
1 1 2 1 1 1 5
在每科笔试中取得 +， ， ， ， 的概率分别为4、5、5、10、20，甲、乙在面试中通过的概率分别为5，16 .
已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率．
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19.(本小题 17 分)
( ) ( ), ∈ 且 ∈ ,
对定义域分别是 ， 的函数 = ( )， = ( )，规定：函数 ( ) = ( ), ∈ 且 ,
( ), 且 ∈ .
(1)若 ( ) = ， ( ) = ，写出 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = 1 2 1， ( ) = ，求 ( )的值域；
(3)若 ( ) = ( + )，其中 是常数，请设计一个定义域为 的 = ( )，及一个 的值，使得 ( ) = 6 ，
并予以证明．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.75
13.{ |}0 ≤ ≤ 2}
14.152
15.(1)函数 ( )在区间[2, + ∞)上的单调递增，证明如下：
任取 2 ≤ 41 < 2，则 2 1 > 0,1 > 0，1 2
( 2) (
4 4
1) = ( 2 + ) ( 1 + ) = ( 2 1)(1
4
) > 0，2 1 1 2
所以 ( 2) ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
所以函数 ( )在区间[2, + ∞)上的单调递增．
(2)由(1)可知 ( )在区间[2,4]上的值域为 = [4,5]，
因为函数 ( ) = 1 + 单调递减，
2
所以 ( )在区间[2,8]上的值域为 = [ 3, 1]，
因为 ，所以 3 ≤ 4 < 5 ≤ 1 6 ≤ ≤ 7．
所以满足题意的实数 的取值范围为[6,7]．
16. (1) ① = 3 3 解： 选 ，由 ，得 ， 1+ = 1+
则 1 + = 3 ，
所以 2 ( 16 ) = 1，即 sin( 6 ) = 2，
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由 0 < < ，得 = 3．
选②，由 = 34 (
2 + 2 2)得，1 3 ，2 = 4 2

则 = 3，所以 = 3．
(2)证明：设 = (0 < < 3)，则 = 3 ，
△ 1在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 3 2 3 2 =
2 3 + 3，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 3 + ( 3 )2 2 3( 3 ) 12 =
2 3 + 3，
因此 2 = 2，所以 = ．
17.(1) //平面 .证明如下：
由题可得 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以∠ 是二面角 的平面角，
故∠ = 60°，
又 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
过 作 ⊥ 交 于点 ，
则因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，
且 = 60° = 2 × 32 = 3，
1 1
所以四棱锥 的体积为3 × [ 2 × (2 + 4) × 2] × 3 = 2 3．
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18.(1)由题意得 10 × (0.005 + + 0.030 + 0.035 + 0.010) = 1，解得 = 0.020，

平均成绩为： = (55 × 0.005 + 65 × 0.020 + 75 × 0.030 + 85 × 0.035 + 95 × 0.010) × 10 = 77.5，
估计高一年级初赛的平均成绩为 77.5 分；
(2)[60,70)和[70,80)两组的频率之比为 0.2：0.3 = 2：3，
故抽取的 5 名学生，从[60,70)内抽取了 2 名学生，设为 ， ，
从[70,80)内抽取了 3 名学生，设为 ， ， ，
已抽取的 5 名学生中随机抽取 2 名，
分别为( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )( , )，( , )，( , )，( , )，共有 10 种情况，
其中至少有 1 名学生的成绩在[60,70)内的情况为：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )( , )，共有 7 种情况，
故至少有 1 名学生的成绩在[60,70) 7内的概率为10；
(3) 2 2 2 1 1甲通过决赛的概率为5 × 5 + 2 × 5 × ( 6 + 12 ) ×
1 1
5 = 5，
1 1 1 1 2 5 5
乙通过决赛的概率为4 × 4 + 2 × 4 × ( 5+ 5 ) × 16 = 32，
1 5 1
故甲、乙能同时通过决赛的概率为5 × 32 = 32．
19.(1)定义域分别是 ， 的函数 = ( )， = ( )，
( ) ( ), ∈ 且 ∈ ,
函数 ( ) = ( ), ∈ 且 ,
( ), 且 ∈ .
又 ( ) = ， ( ) = ，
则 = { ∈ | ≠ +

2 , ∈ }， = ，
当 ≠ + 2， ∈ 时， ( ) = ( ) ( ) = ，
当 = + 2， ∈ 时， ( ) = ( ) = ，
, ≠ + 2 , ∈ 所以 ( ) = ． , = + 2 , ∈
(2)由条件知， = ( ∞,1) ∪ (1, + ∞)， = ，
2
则 ( ) = 1 , ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)，
1, = 1
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2
当 > 1 时， ( ) = 1 = ( 1) +
1
1 + 2 ≥ 4，当且仅当 = 2 时恨等号；
2
当 < 1 1 1时， ( ) = 1 = ( 1) + 1 + 2 = [(1 ) + 1 ] + 2 ≤ 0，当且仅当 = 0 时取等号，
所以函数 ( )的值域为( ∞,0] ∪ {1} ∪ [4, + ∞)．
(3) ( ) = 2sin(3 + 令 4 )

，取 = 6，证明如下：
( ) = ( + ) = 2sin(3 + 3 4 ) = 3 3 ，而 ( ) = 3 + 3 ，
则 ( ) = ( ) ( ) = ( 3 + 3 )( 3 3 ) = cos23 sin23 = 6 ，
所以 ( ) = 2sin(3 + 4 )，取 = 6．
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