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2024-2025 学年青海省海南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + =( )
A. B. C. D.
2.某工厂生产 ， 两种型号的零件共 10000 件，其中 型号的零件 6000 件.质检员为了解这两种型号的零
件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取 500 件进行质检，则 型号的零件被抽到的数量是( )
A. 240 B. 200 C. 300 D. 100
3 1.已知两个单位向量 , 的夹角的余弦值为 3，则|2 + | =( )
A. 113 B.
22
2 C.
33 33
5 D. 3
4.如图，△ 的斜二测直观图是△ ′ ′ ′，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2 2, ∠ ′ ′ ′ = 90°，则
△ 的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.某校学生会随机抽查了本校 100 名学生的身高(单位： )，将得到的数据按[150,160)，[160,170)，
[170,180)，[180,190]分为 4 组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这 100 名学生中身高低于 170
的人数为( )
A. 56 B. 52 C. 48 D. 44
6.在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时 3 千米的速度沿着北偏东 15°的方向前进，
队员乙以每小时 4 千米的速度沿着西北方向前进，2 小时后，队员甲、乙之间的距离是( )
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A. 2 7千米 B. 2 13千米 C. 2 19千米 D. 2 37千米
7.从 1 5 这 5 个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于 8 的概率为( )
A. 7 310 B. 10 C.
1 D. 22 5
8.在直三棱柱 1 1 1中， = 1， ， ， 分别是棱 ， 1 1， 1的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值是( )
A. 5 B. 35 5 C.
4 2 5
5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = (1 + 2 )(1 3 )，则下列结论正确的是( )
A. 的实部是 5 B. 的虚部为 1
C. | | = 26 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论错误的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， // ，则 //
D.若 ∩ = ， ∩ = ， // ，则 //
11.已知非等腰三角形 的内角分别为 ， ， ，若 4 = 4 ，则下列结论可能正确的是( )
A. = 22 B. = C. =
2
2 D. 2 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知复数 = 5 7 ，则 = ______．

13.已知 ， 为互斥事件，且 ( ) = 0.6， ( ) = 0.2，则 ( ) = ______．
14.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的
上底面圆的半径为 8 厘米，下底面圆的半径为 2 厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、
下底面均相切(不考虑巧克力圆台容器的厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是______立方厘米．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润.甲分别随机抽测
了 产地和 产地各 6 个玉菇甜瓜的重量(单位： )，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据( 产地)： 1194 1200 1201 1202 1210
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第二组数据( 产地)：1192 1194 1199 1203 1209
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第 60 百分位数和第二组数据的中位数相等．
(1)求 ， ；
(2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是棱 ， 1， 1 1的中点．
(1)证明： 1 //平面 ．
(2) 在棱 11上是否存在点 ，使得平面 1 //平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．1
17.(本小题 15 分)
如图，在多面体 中， = = 13， = 2 = 2 = 4， ⊥ ，平面 ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)已知 = 3，平面 ⊥平面 ， 是线段 的中点．
①证明：四边形 为矩形．
②求多面体 的体积．
18.(本小题 17 分)
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜 2 局，此人最终获胜，比赛结束；4 局
比赛后，没人累计获胜 2 局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比
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1 1 1
赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为2 , 6 , 3，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求比赛 3 局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
19.(本小题 17 分)
在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，向量 = ( , 2 )， = ( , )，且 ⊥ ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 ，| | = 4，求△ 面积的最大值；
(3)若 = 2 3，求 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5 + 7
13.0.2
14.256 3
15.已知第一组数据( 产地)： 1194 1200 1201 1202 1210，
第二组数据( 产地)：1192 1194 1199 1203 1209，
(1)由题意得 1210 = 1209 1192，得 = 1193．
因为 6 × 60% = 3.6，所以第一组数据的第 60 百分位数为 1201 ，
1199+
又第二组数据的中位数为 2 ，
1199+
所以 2 = 1201，得 = 1203；
(2) 1193+1194+1200+1201+1202+1210第一组数据的平均数为 6 = 1200 ，
72+62+0+12+22+102
方差为 6 =
95
3，
1192+1194+1199+1203+1203+1209
第二组数据的平均数为 6 = 1200 ，
82+62+12+32+32+92 = 100方差为 6 3 ，
95 < 100因为 3 3 ，所以估计 产地的玉菇甜瓜重量更稳定．
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16.解：(1)证明：在长方体 1 1 1 1中，连接 ，
因为 ， 分别是棱 ， 1 1的中点，
所以 // 1， = 1，
由长方体的性质，可知 1// 1， 1 = 1，
则 // 1且 = 1，
所以四边形 1是平行四边形，
所以 // 1 ，
又因为 平面 ，且 1 平面 ，
所以 1 //平面 ．
(2)取棱 1的中点 ，连接 ， 1 ，平面 1 //平面
1 = 1，此时 1 2．
理由如下：
连接 1，因为 ， 分别为棱 ， 1的中点，所以 // 1，
因为 ， 分别为棱 1 1， 1 的中点，
所以 // 1，所以 // ，
因为 平面 且 平面 ，
所以 //平面 ，
由(1)可知 1 //平面 ，且 1 平面 1 ， 平面 1 ， 1 ∩ = ，
所以平面 1 //平面 ，
1
故在棱 1上存在点 ，使得平面 1 //平面 ，此时
1
=1 2．
17.(1)证明：因为 = 2 = 2 ，
因此 2 = 2 + 2，因此 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ．
因为 平面 ，因此 ⊥ ．
因为 ⊥ ，
平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
因此 ⊥平面 ．
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(2)①证明：因为 = ，且 为线段 的中点，因此 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ．
因此 ⊥ ，
由(1)可知 ⊥平面 ，则 // ， ⊥ ，
因为 = 13， = 12 = 2，且 ⊥ ，因此 = 3．
因为 = 3，因此四边形 是矩形．
②因为 = ，且 为线段 的中点，因此 ⊥ ，
由①知 ⊥ ，
因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
因此 ⊥平面 ，
由①知 = 3，
1
因为 = 2 2， = = 2，因此 = 22
2 = 2．
1
则四棱锥 的体积 1 = 3 × 2 × 3 × 2 = 4．
故多面体 的体积 = 2 1 = 8．
18.(1)根据题意，设 =“比赛 3 局结束”，
比赛 3 局结束的情况有以下两种：
1 1
第一种情况，甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( )32 × 2 = 4；
1 2 4
第二种情况，乙获胜，即前 2 局比赛中乙获胜 1 局，且第 3 局比赛乙获胜，其概率为( 23 ) × 3 × 2 = 27．
1 4 43
故 ( ) = 4 + 27 = 108；
(2)根据题意，设 =“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
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1 1
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜 2 局，比赛结束，其概率为( 22 ) = 4；
1 1
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( )32 × 2 = 4；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即 4 局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
①甲获胜 1 1 1 1局，其他 3 局平局，其概率为 1 = ( 2 ) × ( )
3
6 × 4 = 108，
1 1 1
②前 3 局比赛中甲获胜 1 局，其他 2 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，其概率为 = ( )2 × ( )22 2 6 × 3 = 48，
③前 3 局比赛中甲获胜 1 局，乙获胜 1 局，其他 1 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，
其概率为 = ( 13 2 )
2 × 1 × 13 6 × 6 =
1
12，
1 1 1 1 1 265
故甲最终获胜的概率 = 1 + 2 + 3 = 4 + 4 + 108 + 48 + 12 = 432．
19.(1)由已知可得 = (2 ) = 0，
由正弦定理可得： + = 2 ，
所以 sin( + ) = = 2 ，所以 = 12，
因为 0 < < 2，所以 = 3；
(2) 1由已知可得 = 2
= 1 12 2
，
所以 = + = 12
+ 1 2 ，即 2
= + ，
2 2所以 4 = + 2
2
+ ，
因为| | = 4 ，且 = ，所以 64 = 23 + +
2 ≥ 3 64，所以 ≤ 3，当且仅当 = 时，等号成立，
则△ 的面积 = 12 =
3
4 ≤
16 3 △ 16 33 ，即 面积的最大值为 3 ，
(3) 由正弦定理可得 = = = 4，
则 = 4 , = 4 = 4 ( 2 3 ) = 2 3 + 2 ，
故 2 = 8 (2 3 + 2 ) = 6 2 3 = 4 3sin( 6 )，
0 < < ,
因为△ 2 是锐角三角形，所以 2 解得6 < < 2，0 < 3 < 2 ,

所以 0 < 6 < 3，所以 0 < sin( 6 ) <
3
2 ，
0 < 4 3sin( 则 6 ) < 6，即 2 的取值范围为(0,6)．
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