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2024-2025学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则正确的关系是( )
A. B. C. D.
2.命题“存在，”的否定是( )
A. 不存在， B. 存在，
C. 任意的， D. 任意的，
3.设，，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.数列为，，，，则不能作为通项公式的是( )
A. B.
C. D.
5.已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的增区间是和 B. 有个极值点
C. 的减区间是和和 D. 极大值点和极小值点的个数相同
6.若，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知是函数的切线且斜率为，则与圆有公共点的切线的条数为( )
A. B. C. D.
8.设，是等差数列，，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若存在，使得，则的范围可以是( )
A. B. C. D.
10.关于函数，以下说法正确的是( )
A. 当时，的增区间为
B. 当时，的值域为
C. 如果的值域为，则
D. 函数的图象关于直线对称
11.鸡尾酒排序是一种计算机科学领域的排序算法其基本思想是：通过对数字均不相同的排序序列从左往右，依次对相邻两个数比较大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，使值较大的数逐渐从左移向右，所有相邻两个数完成对比交换后再反向从右往左依次比较相邻两个数的大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，完成两个方向的对比交换称为一个轮次，只完成一个方向算个轮次，重复以上过程直到序列中所有数从左往右都是按照从小到大排列为止例如：对于序列进行鸡尾酒排序，首先从左往右顺序，先比较，无需交换位置，然后比较，需交换次位置，得到新序列最后比较，又需要交换次位置，得到新序列，完成了从左往右的对比换序然后从右往左方向，先比较，无需交换，再比较，交换位置得，再比较，交换位置得完成一个轮次鸡尾酒排序此例只用了一个轮次就完成了排序，共进行了次交换位置以下说法正确的是( )
A. 对需要个轮次完成排序
B. 若，则个数最多需要轮次完成排序
C. 对进行了次交换位置完成排序
D. 对于序列最多需要次交换位置完成排序
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前项和为______．
13.函数的定义域为______．
14.函数，存在实数，使有个根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，，．
求，的值，并判断的单调性不需要证明；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，．
解不等式：；
若使得，，成等比数列，求实数的取值范围．
17.本小题分
调查公司调查了两个群体群体甲和群体乙对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型甲乙是否与新项目的喜好有关联．
喜欢新项目 不喜欢新项目
群体甲
群体乙
附：，其中．
分析群体类型甲乙是否与新项目的喜好有关联；
某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为，且三次尝试是相互独立的设事件为“恰好成功两次”，事件为“至少成功一次”，求使得取得最大值时的值．
18.本小题分
数列满足，且对于，都有．
求数列的，，；
证明数列是等差数列；
求．
19.本小题分
对于函数，若存在区间，使得当时，的值域是，则称函数为“倍区间函数”，为函数的一个“倍区间”，已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在区间上是“倍区间函数”，求的取值范围；
判断函数在区间内是否存在“倍区间”，并说明理由注：
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.根据题意，因为函数是定义域为的奇函数，
所以，得，
又，即，得，
则，经检验符合题意．
故，；
是上的减函数．
理由：，函数在上为增函数且在上递增，
所以是上的减函数．
根据题意，由在时恒成立，
因为是单调递减的奇函数．
所以，即在时恒成立，
变形可得：，，
又，当且仅当时等号成立，必有，
故的取值范围为．
16.，即，
所以，
由单调性知，
由，得，
所以，
又因为，
所以原不等式的解集为；
因为是与的等比中项，
所以，代入得，
即，
则
因为，所以，
设，即，
所以且，
所以，即．
17.零假设：群体类型甲乙与新项目的喜好没有关联，
，
所以有的把握认为群体类型与新项目的喜好有关联．
依题意，对新项目三次尝试成功的次数服从二项分布，
又因发生时一定发生，则，
则，，
故，．
设，
则
，
令，解得．
因为，所以，
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减．
所以当时，取得最大值，即取得最大值．
18.根据题意，，
，，
所以，，的值分别为，，；
证明：由，得，
所以，即，
当时，．
所以是以为首项，为公差的等差数列；
由知，故，
所以，
所以，
两式相减得，
因为所以，
当时，满足上式，
所以
根据递推公式即可求解；
由得，两边同时除以，即可得证；
由得，利用累加法得，最后利用错位相减法即可求解．
本题主要考查数列的递推公式与错位相减求和法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
19.由，求导得，
令，
求导得恒成立，即，即在上单调递增．
又，故当时，，
所以的单调递减区间是；
当时，，
即的单调递增区间是．
综上，的单调递减区间是，单调递增区间是；
，
因为在区间上是“倍区间函数”，
则存在区间，使得的值域是．
因为，
令，解得，
所以当时，，
则在上单调递增，
则，
即方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不同的根，
令，
求导得，
则在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，
当时，，当，．
要使与在上有两个不同的交点，
需使，解得，
即的取值范围是；
不存在，理由如下：
假设函数在区间内存在“倍区间”．
因为在上单调递增，
所以，
即．
令，
则在至少有两个实根，
因为，
令，
则，
所以在单调递增．
，，
所以存在唯一的，使得，
即，则，
当时，有，即，
所以在上单调递减；
当时，有，即，
所以在上单调递增．
所以在处取得极小值，
因为函数在单调递减，且，
故，
即在上没有实根，
所以函数在区间内不存在“倍区间”．
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