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2024-2025学年陕西省渭南市富平县高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则为( )
A. B. C. D.
2.若，，，且，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.缗云山是著名的旅游胜地天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生到之间的整数值的随机数，指定，，，，表示当天下雨，，，，，表示当天不下雨，每个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了组随机数：
据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为( )
A. B. C. D.
5.如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.在 中，为中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.在四面体中，，分别为棱，的中点，，，，则异面直线与所成角为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. 的实部是 B. 的虚部为
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.下列说法正确的是( )
A. 样本数据，，，，，的中位数为
B. 频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为
C. 若一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
D. 掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现点或点”，则事件与相互独立但不互斥
11.正方体的棱长为，为底面的中心为线段上的动点不包括两个端点，则( )
A. 不存在点，使得平面
B. 正方体的外接球表面积为
C. 存在点，使得
D. 当为线段中点时，过，，三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一共有学生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人进行体能测试，若这人中有人是男生，据此估计该校高一男生有______人
13.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点分别测得树尖的仰角为，，且，两点之间的距离为，则该树的高度为____.
14.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为，侧面积为，则圆锥的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若，，与的夹角为．
求；
当为何值时，向量与向量互相垂直？
16.本小题分
在中，，，．
求；
求边上的高．
17.本小题分
如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且．
证明：平面；
证明：平面．
18.本小题分
大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制先赢三局的学校获胜，比赛结束约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
求甲校以：获胜的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面，为的中点，，．
求证：平面平面；
求四棱锥的体积；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知可得，，，，
所以，
所以；
由已知可得，
即，
所以有，解得．
16.解：在中，，，，
由正弦定理得，，整理得：，
由于，，
所以．
由可知在中，，，，
由余弦定理得，，
整理得，
化简为，
解得或．
则，
整理得或．
17.证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又为正方形，
故BC，
又因为平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面．
18.甲校连胜局，概率为，
乙校连胜局，概率为，
故恰好比赛三局，比赛结束的概率；
甲校以：获胜的情况如下：
前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为，
前两局男生羽毛球比赛中甲校胜负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为，
故甲校以：获胜的概率．
19.证明：平面，平面，
，
为等边三角形，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
由知平面，
平面，，
又为的中点，根据三线合一的性质，，
平面，平面，
，根据勾股定理，
，
，
，
．
过点作于，连接，
由知平面平面，平面平面，
平面，
直线与平面所成角即为，
又，，
根据相似三角形对边成比例，
在中，，
，，
，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
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