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2024-2025 学年福建省漳州市华安一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < ≤ 3, ∈ }， = { | < 5}，则 ∩ =( )
A. { | 1 < ≤ 5} B. { | 1 < ≤ 3} C. {0,1,2,3} D. {1,2,3}
2.命题“ ∈ ， 2 > 1”的否定是( )
A. ， 2 < 1 B. ∈ ， 2 < 1
C. ， 2 ≤ 1 D. ∈ ， 2 ≤ 1

3.已知变量 和 的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为 = 3.2 + ，则 = 4 时的残差为
( )
4 4.5 5 5.5 6
7 6 4 2 1
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.2
4.在三棱锥 中， 是平面 内一点，且 9 = 8 + + 2 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
5.设离散型随机变量 的分布列如右表，若随机变量 = | 2|，则 ( = 2) =( )
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5

6.已知随机事件 、 ， ( ) = 12， ( ) =
1
3， ( | ) =
1
2，则 ( | ) =( )
A. 1 B. 1 2 56 3 C. 3 D. 6
3 + 2 + , < 1
7.若函数 ( ) = 3 在 上单调递增，则 的取值范围为( )4 + , ≥ 1
A. ( ∞,0) B. ( ∞,0] ∪ [1,4] C. [1,4] D. ( ∞,0) ∪ (1,4]
8.已知函数 ( ) = 3 3 2 + + 1，若 (2 3) + ( 2) ≤ 2，则实数 的取值范围为( )
A. [ 3,1] B. [ 1,3]
C. ( ∞, 1] ∪ [3, + ∞) D. ( ∞, 3] ∪ [1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A. 1 1 1 1若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为2、3、4，则密码机被破译的概率为24
B.若随机变量 (5, 2)且 ( < ) = ( > )，则 2 + 2的最小值为 50
C.若随机变量 (7,4,5)，则 ( ) = 207
D.若随机变量 ～ ( , )，若 ( ) = 3 12 5， ( ) = 25，则 = 15
10.已知函数 ( ) = 3 3 + 1，则( )
A. = ( )关于(0,1)对称
B. ( )的极小值点为(1, 1)
C. ( )有三个零点
D.直线 = 3 + 1 是曲线 = ( )的一条切线
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，下列说法正确的是( )
A.直线 1与 1 1所成的角为 60°
B.直线 61与平面 1 1 所成角的余弦值为 3
C.点 21到平面 1 1的距离为 2
D.二面角 1 的大小为 60°
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ln(2 3) ln( 3)为奇函数不为偶函数，则实数 的值是______．
13.在空间直角坐标系中，点 ( 1,1,1)， ( 2,0,1)， (0,1,3)，则 到直线 的距离为______．
2
14 ∈ [1,2] ≠ 1
1
. 1， 2 ，且 1 2，不等式
2
< 恒成立，则 的取值范围为______．2 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( 2 + )( < 0)在 = 3 处取得极值．
(1)求 的值；
(2)求 ( )在区间[0,2]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传
播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各 50
名进行调查，部分数据如表所示：
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喜欢足球 不喜欢足球 合计
男 20
女 15
合计 100
(1)求 ， 的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有 99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性
别有关？
(2)2025 年 7 月 5 日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第 6 轮比赛.该企业足球社团计划
赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这 100 名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方
法抽取 6 人，然后再从这 6 人中随机抽取 3 人担任现场观赛“球迷”，记抽出的 3 人中女性的人数为 ，
求 的分布列和数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 2， = 1， = 1， = 2， ⊥ ．
(1)求二面角 的余弦值；
(2) 6点 在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 ( ∈ )，
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 ( ) = 1 有两个解，求 的范围；
(3)若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与 轴垂直，不等式 ( ) ≥ 2 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，求实数
的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、
校外各 1 小时体育活动时间，每天统一安排 30 分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有 40%的人
满分，而该校有 20%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为 50%．
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，
第 1 次由甲将球传出，求第 次传球后球在乙手中的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.3 22
14. ∈ [ 2, + ∞)
15.(1)导函数 ′( ) = ( 2 + 2 + )
根据题意可得 ′( 3) = 0，代入得： 3(9 6 + ) = 0，解得 = 3，
经检验，符合题意；
因此 的值为 3．
(2)当 = 3 时，函数 ( ) = ( 2 3)，导函数 ′( ) = ( 2 + 2 3)
令导函数 ′( ) = 0，解得 = 1， = 3(舍去)，
当 ∈ [1,2]， ′( ) > 0；当 ∈ [0,1)， ′( ) < 0，
所以 ( )在[1,2]上单调递增，在[0,1)上单调递减，
所以 = 1 时， ( )取到极小值也是最小值 (1) = 2 ；
又 (0) = 3， (2) = 2，从而可求最大值为 2，
故最大值为 2，最小值为 2 ．
16.(1)因为男、女员工各 50 名，所以容易得到 = 30， = 35，
零假设 0：该企业员工喜欢足球与性别无关，
2 = 100×(30×35 15×20)
2 100
将表格数据代入公式可以得到 45×55×50×50 = 11 ≈ 9.091 > 7.879，
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因为 ( 2 ≥ 7.879) ≈ 0.005，
故可以认定有 99.5%的把握认为满意度与性别有关；
(2) 30由分层抽样可以求得，男性人数为：6 × 45 = 4 人，女性 6 4 = 2 人，
所以 的取值为 0，1，2，
3 2 1 1 2
根据古典概型可得 ( = 0) = 4 13 = 5， ( = 1) =
4 2 = 3 ( = 2) = 4 2 = 1， ，
6
3
6 5
3
6 5
的分布列为：
0 1 2
1 3 1
5 5 5
所以 ( ) = 0 × 15+ 1 ×
3
5 + 2 ×
1
5 = 1．
17.(1)记 的中点为 ，连结 ，
1
因为 // ， = 2 = 1 = ， ⊥ ，
所以四边形 是矩形，则 = = 1， ⊥ ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (0,0,0)， (1, 1,0)， (1,1,0)， (0,0,2)，
则 = (0, 2,0)， = (1, 1, 2)， = (0,0,2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

所以 = 2 = 0
，
= 2 = 0
令 = 1，则 = (1,1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )

所以 = 2 = 0 ，
= 2 = 0
令 = 1，则 = (2,0,1)，
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所以 cos < , >= 2 10| | | | = 2 ，× 5 = 5
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 10．
5
(2)依题意，设 (0,0, )(0 ≤ ≤ 2)，则 = ( 1, 1, )，
又由(1)得平面 的一个法向量为 = (1,1,0)，
记直线 与平面 所成角为 ，

所以 = |cos < , > | = | | 2 6
| | |
= = ，
| 2 2+ 2 3
解得 = 1(负值舍去)，
所以 (0,0,1)，则 = (0,0,1)，
而由(1)得平面 的一个法向量为 = (2,0,1)，

所以点 | | 1 5到平面 的距离为 | | = 5 = 5 ．
18.(1)由题意 ( )的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 1 =
1
，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时，令 ′( ) < 0，得 0 < < 1 ，令 ′( ) > 0，得 >
1
，
故 ( )在(0, 1 )
1
上单调递减，在( , + ∞)上单调递增；
综上，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 ( ) (0, 1 1时， 在 )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增；
(2)由(1)知，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减，
此时 ( ) = 1 不可能有两个解，舍去；
当 > 0 时， ( ) (0, 1 1在 )单调递减，在( , + ∞)单调递增，
故 ( ) 1 = ( ) = ，
且当 → 0 时， ( ) →+∞，且 →+∞时， ( ) →+∞，
要想 ( ) = 1 1有两个解，需满足 ( ) < 1，即 < 1 0 < <
1
，解得 ，
即 1的取值范围为(0, )；
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(3) ′( ) = 1 ，依题意： ′(1) = 1 = 0，解得： = 1，
∴ ( ) = 1 ，
又 ( ) ≥ 2 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，即 1 ≥ 2，
∴ ≤ 1 + 1 在(0, + ∞)上恒成立．
令 ( ) = 1 + 1( > 0)
2
， ′( ) = 2 ，
当 0 < < 2，时 ′( ) < 0，当 > 2时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) = ( 2) = 1
1
2，
故 ≤ 1 1 2，
∴ 1的取值范围为( ∞,1 2 ]．
19.(1)该校随机抽取三人，每个人满分的概率为 40%，
设抽取的三人中满分人数为 ，
则 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3 27 2 3 54
则 ( = 0) = ( )35 =
1 2
125， ( = 1) = 3 × 5 × ( 5 ) = 125，
( = 2) = 2 × ( 2 )2 3 36 2 83 5 × 5 = 125， ( = 3) = (
3
5 ) = 125，
则 的分布列为：
0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
(2)用 表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，

则 ( ) = 20%， ( ) = 1 20% = 80%，
用 表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则 ( ) = 40%，且 ( | ) = 50%，
又因为 ( ) = ( ) ( | ) = 20% × 50% = 10%

所以 ( ) = ( ) ( ) = 30%，

所以 ( | ) = ( ) = 30% = 3；
( ) 80% 8
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(3)记 表示事件“经过 次传球后，球在乙的手中”，
设 次传球后球在乙手中的概率为 ， = 1，2，3，…， ，
1
则有 1 = 2，

所以 +1 = +1 + +1，

所以 +1 = ( ) ( +1| ) + ( ) (
1 1
+1| ) = (1 ) 2+ 0 = 2 (1 )，
1 1
即 +1 = 2 + 2， = 1，2，3，…，
所以 +1
1 1
3 = 2 (
1 1 1
3 )，且 1 3 = 6，
1 1 1
所以数列{ 3 }表示以6为首项， 2为公比的等比数列，
1
所以 3 =
1 × ( 16 2 )
1，
= 1 × ( 1所以 ) 1 + 1 1 1 6 2 3 = 3 [1 ( 2 ) ]，
1 1
即第 次传球后球在乙手中的概率3 [1 (

2 ) ]．
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