资源简介

2024-2025 学年甘肃省白银重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,4}， = {1,2,4,8}，集合 ( ∪ )，当集合 中有且只有一个元素时，则满足条件的集
合 的个数为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是 6 的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为( )
A. 1 1 1 12 B. 6 C. 3 D. 4
3.已知曲线 = ln( 1) + 在 = 2 处的切线方程为 = 2 + ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.已知点 ( , 3,5)， (0, , 2)， (2,7, 1)，若 ， ， 三点共线，则 ， 的值分别是( )
A. 2，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，2
5.一袋中有白球 2 个、红球 个，从中任取 4 个球，记红球的个数为 ，已知 的取值为 2，3，则 ( = 2) =( )
A. 34 B.
9
20 C.
18 3
35 D. 5
6.假设有两个分类变量 ， ，它们的可能取值分别为{ 1, 2}和{ 1, 2}，其 2 × 2 列联表为
1 2 合计
1 +
2 +
合计 + + + + +
以下各组数据中，对于同一样本能说明 与 有关系的可能性最大的一组为( )
A. = 2， = 3， = 3， = 7 B. = 1， = 4， = 2， = 8
C. = 1， = 4， = 4， = 1 D. = 9， = 1， = 4， = 1
7.如图，一环形花坛分成 ， ， ， ， 五块区域，现有 5 种不同的花供选种，要求在每块区域里种一种
花，且相邻的 2 块区域种不同的花，则不同的种法总数为( )
A. 420
B. 380
C. 360
D. 320
8.若数列{ }是公比为 的等比数列，且 1 + 2 = 16，则 21 + 的最小值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
第 1页，共 8页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某种细胞在培养正常的情况下，时刻 (单位：分)与细胞数 (单位：个)的部分数据如下表所示：
1 2 3 4 5
52 95 185 227

若 与 线性相关，由上表数据求得经验回归方程为 = 44 + 10，则下列说法正确的是( )
A. 与 正相关
B. = 151
C.细胞数逐分增加，平均每分钟增加 10 个左右
D.预计 10 分钟后细胞数约为 450 个
10.某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束.甲、乙两个代表队最终进入决
赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：
出场顺序 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号
1 2 1
获胜概率
2 3 2
1 5
若比赛结束时甲队获胜的场数为 ，且 ( = 0) = 18 , ( = 1) = 36，则( )
A. = 2 2 53 B. = 3 C. ( = 3) = 8 D. ( ) =
81
40
11.已知函数 ( ) = ( 1)3，则以下结论正确的是( )
A. ( )在( ∞, 2)上单调递增，在( 2, + ∞)上单调递减
B. ( 3) < ( ) < (2)
C.函数 = ( )只有 1 个零点
D.存在实数 ，使得方程 ( ) = ( 1)有 4 个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 3 2在(1,3)上单调递减，则实数 的取值范围为______．
13.抛物线 ： 2 = 6 与直线 交于 ， 两点，且 的中点为( , 2)，则 的斜率为______．
14.已知点 (0,0,0)， (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 在直线 上运动，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，_____.在① = ( + + , + + ), =
sin2 2 sin
2 2 2
( , 2
sin sin
), =
3 = ( 2 , 2 ) = 3 3 2， ，且 2；② = 2，且 = 2 中任选一个条件填在上面横
第 2页，共 8页
线中，并解答下列问题．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3 5，求△ 的面积的最大值．
注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分．
16.(本小题 15 分)
1 23
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + + 3在 = 3处取得极小值27．
(1)求 ， 的值；
(2)当 ∈ [ 1,1]时，求 ( )的最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，转盘被分成 8 个均匀的扇形区域，其转盘游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头 所指区域的数
字就是游戏所得的点数(转盘停留的位置是随机的)，由于分界线较粗，假设箭头指到区域分界线的概率为 0.2，
同时规定所得点数为 0.某同学进行了一次游戏，记所得点数为 ．
(1)求 ( > 1)；
(2)求 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中，侧棱 1 ⊥底面 ，底面 为梯形， // ， = = 2，
= 11 = 2 = 2，点 ， 分别为 1 1， 的中点．
(Ⅰ)求证： //平面 1；
(Ⅱ)求二面角 1 的余弦值；
(Ⅲ)在线段 上是否存在点 ，使 与平面 2 141所成角的正弦值是 21 ，若存在，求 的长；若不存在，
请说明理由．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点， 为圆 2 + 2 = 20 上的动点，过 作直线 垂直 轴于点 ，点 满足 = 2
(1)求动点 的轨迹 的方程
(2)若直线 ： = + ( ≠ 0)与曲线 交于 ， 两点，求三角形 面积的最大值．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 92 , + ∞)
13. 32
14. 23
sin2 2
15.(1)若选①，根据题意可知，向量 = ( + + , + + ), = ( 2
sin
, 2 ), =
3
2，
sin2 2 sin
2
∴ = ( + + , + + ) ( 2 3 , ) = 2，
sin2 sin2
即( + + ) 2 + ( + + ) 2 = 3 2，
( + + ) (2 2 + 2 2 即 2 2 ) = 3 ，
即( + + ) [ (1 ) + (1 )] = 3 ，
2 2 2 2 2 2
即( + + ) [ + ( + + 2 + 2 )] = 3 ，
可得( + )2 2 = 3 ，即 2 + 2 2 = ；
2 2 2
由余弦定理得 = + = 2 2 =
1
2，
又 ∈ (0, )，∴ = 3；


若选②，由 = 2，得 = 2，即 = 2 ，


又 =
3
2，即 2 = 3 ，根据正弦定理得 2 = 3 ，
第 5页，共 8页
∴ 2 ( + ) = 3 ，即 2 + 2 = 3 ，
∴ 6 = 3 ，∵ ≠ 0，∴ = 12，
∵ 0 < < ，∴ = 3；
(2)由(1)知 ∈ (0, )，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
即 45 = 2 + 2 ，∴ 45 = 2 + 2 ≥ 2 = ，即 ≤ 45，
当且仅当 = = 3 5时等号成立，
∴ = 12 ≤
1 × 45 × 3 = 45 32 2 4 ，
故△ 45 3的面积的最大值为 4 ．
16.解：(1)由题意可得 ′( ) = 3 2 + 4 + ，
1 23
因为函数 ( )在 = 3处取得极小值27，
( 1 ) = 1 4 ′
所以 3 3 3
+ = 0 = 1
( 1
，解得 ，
3 ) =
1
27 +
2 3 23 = 19 3 + = 27
当 = = 1 时，则 ( ) = 3 + 2 2 + + 1， ′( ) = 3 2 + 4 + 1 = (3 + 1)( + 1)，
1
当 < 1 或 > 3时， ′( ) > 0；当 1 < <
1
3时， ′( ) < 0；
可知 ( )在( 1, 13 )
1
内单调递减，在( ∞, 1), ( 3 , + ∞)内单调递增，
则函数 ( )在 = 1 233处取得极小值27，符合题意，
所以 = = 1．
(2)因为 ∈ [ 1,1]，由(1)可知： ( )在[ 1, 13 )
1
内单调递减，在( 3 , 1]内单调递增，
且 ( 1) = 1， (1) = 5，即 ( 1) < (1)，
所以当 ∈ [ 1,1]时，求 ( )的最大值为 (1) = 5．
17.(1) 1 1依题意有 ( > 1) = ( = 2) + ( = 3) = 0.8 × ( 4+ 4 ) = 0.4；
(2)根据题意可知 = 0，1，2，3，
又 ( = 0) = 0.2 1， ( = 1) = 0.8 × 2 = 0.4， ( = 2) = 0.2， ( = 3) = 0.2，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.2 0.4 0.2 0.2
第 6页，共 8页
所以 的数学期望为 ( ) = 0 × 0.2 + 1 × 0.4 + 2 × 0.2 + 3 × 0.2 = 1.4．
18.(Ⅰ)证明：连接 ，
∵点 ， 分别为 1 1，的中点，
∴ // 1 ， = 1C.
∴四边形 1 是平行四边形．
∴ // 1 ，
∵ 平面 1， 1 平面 1，
∴ //平面 1；
(Ⅱ)解：∵ 1 ⊥平面 ， 1// ，
∴ ⊥平面 ．
以 为坐标原点，分别以直线 ， 为 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则 轴在平面 内．
∴ (1,0,0)， (0,0,2)， 1( 2,1,2)， (2,1,0)，
∴ = (1,0, 2)， 1 = ( 2,1,0)．
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
由 ，取 = 1，得 = (2,4,1)；
1 = 2 + = 0
平面 的法向量为 = (0,1,0)，
∴ cos < , >= | =
4 = 4 21，
| | | 21×1 21
又二面角 1 为锐角，
∴二面角 1 的余弦值是
4 21；
21
(Ⅲ)解：在线段 上存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值是2 141 ．21
证明如下：设点 ( , 1,0)，∴ = ( , 1, 2)，
设 与平面 1所成角为 ，

∴ = |cos < , > | = | | = |2 +2| =
2 14
| | | | 21× 2+5 21
，解得 = 1．
∴ = 1．
19.(1)设 ( , )， ( , )，则 ( , 0)，
∵ = 2 ，
∴ (0, ) = 2( , )，
∴ = ， = 2 ，
第 7页，共 8页
∵ 2 + 2 = 20，
∴ 2 + 2 2 = 20；
(2) = + 代入 2 + 2 2 = 20，整理可得 3 2 + 4 + 2 2 20 = 0，
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 =
4
3 ，
2 20
1 2 = 3
2
∴ | | = 2 16 2 8 809 3 ，
∵ 到直线 ： = + | |的距离为 2，
2
∴三角形 1面积为2 × 2
16 2 8 80 × | | = 2 4 + 30 2 ≤ 29 3 2 3 3 × 15 = 5 2，
∴三角形 面积的最大值为 5 2．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑