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2024-2025 学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 (1 + ) = 4 + 3 ，则| | =( )
A. 5 2 5 2 12 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知集合 = { 2, 1,0,1}， = { | 2 ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. {0,1} C. { 1,1} D. {0,1,2}
3.已知 ( ) = 2 + ( 3) + 3， ∈ [ 2 2, ]是偶函数，则 + =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如图，在正方体 1 1 1 1中，若 ， 分别是棱 1和 的中点，则 和 1所
成的角是 ( )
A. 30° B. 60° C. 45° D. 120°
5.已知 是第四象限角，若 tan( 4 ) = 7，则 2 =( )
A. 24 B. 12 C. 1225 25 25 D.
24
25
6.在△ 中，内角 ， 1， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 3 ，4 3 = 0，则
=( )
A. 12 B.
2 3
3 C. 4 D.
4
5
7.深受广大球迷喜爱的 某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够
胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为 0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担
当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为 0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比
赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7
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8
2

2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，过 作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为 ，交
1
另一条渐近线于点 ，若 = 6
，则 的离心率为( )
A. 4 15 2 155 B. 5 C. 5 D. 2 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ： 2 + 2 2 + 2 + = 0，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为( ∞,1]
B.圆 关于直线 + = 0 对称
C.若直线 + + 1 = 0 被圆 截得的弦长为 2，则 = 2
D.若 = 1，过点 (0,1)作圆 的一条切线，切点为 ，则| | = 2
10.已知正实数 ， 满足 + = 2，则下列不等式恒成立的为( )
A. ≤ 1 B. 2 + 2 ≥ 2 C. 1 + 2 ≥ 3 D. + ≤ 2
11.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，
反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线
为 ， ， 为抛物线 上两个动点，且 ， ， 三点不共线，抛物线 在 ，
两点处的切线分别为 1， 2， 1 ∩ 2 = ， ， 在 上的射影点分别为 1，
1，则( )
A.点 关于 1的对称点在 上 B.点 在 上
C.点 为△ 1 1的外心 D. ⊥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 ， 的夹角 150°，| | = 3，| | = 4，则| + | = ______．
13.一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿 4 次，设拿
出黄球的次数为 ，则 ( ) =______．
14 .对任意 ∈ [0, 4 ]，函数 ( ) = sin( + )

在区间[ 2 , ]上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2025 年 3 月 30 日，第 20 届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机
抽取了 200 位观众开展相关调查，得到满意率为 80%．
(1)根据所给数据，完成 2 × 2 列联表；
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满意度
性别 合计
满意不满意
男性 20
女性 40
合计
(2)在(1)的条件下，依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
在数列{ }
1
中，已知 1 = 1, = 3 +1，数列{ }为等差数列， 1 + 2 = 0， 4 = 3．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的通项公式；
(3)求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
( 2, 1) 2
2 2
已知点 是离心率为 2 的椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上的一点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 在椭圆上，点 关于坐标原点的对称点为 ，直线 和 的斜率都存在且不为 0，试问直线 和
的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
如图，在边长为 8 的正方形 中，点 、 分别是 、 上的点， = = 2，将△ ，△ 分
别沿 ， 折起，使点 ， 重合于点 ．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 1．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 ( ) + ≥ 0 恒成立时，求 的取值范围；
1
(3)证明： =1 > ln( + 1) + ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.2
14.(0, 1 34 ] ∪ { 2 }
15.解：(1)根据题意，补全 2 × 2 列联表如下：
满意度
性别 合计
满意不满意
男性 120 20 140
女性 40 20 60
合计 160 40 200
(2)零假设 0：性别与满意度无关，
2 = 200(120×20 20×40)
2 200
此时 160×40×60×140 = 21 ≈ 9.524 > 7.879，
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，推断 0不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率
不大于 0.005．
16.(1)由 1 = 1, =
1
3 +1，
可得数列{ }是以 1 为首项， 3 为公比的等比数列，
可得 1 = ( 3) ；
(2)由 1 + 2 = 0， 4 = 3，
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可得 1 = 2 = 3， 4 = 9，
设数列{ }的公差为 ，可得 3 + 3 = 9，即有 = 2，
所以 = 2 + 1；
(3) 0 1 = 3 × ( 3) + 5 × ( 3) + 7 × ( 3)2 + + (2 1)( 3) 2 + (2 + 1)( 3) 1，
所以 3 = 3 × ( 3)1 + 5 × ( 3)2 + 7 × ( 3)3 + + (2 1)( 3) 1 + (2 + 1)( 3) ，
两式相减得 4 = 3 × ( 3)0 + 2[( 3)1 + ( 3)2 + + ( 3) 1] (2 + 1)( 3) ，
3 ( 3)
所以 4 = 3 + 2 × 4 (2 + 1)( 3)
，
3 (4 +3)( 3)
所以 = 8 ．
2 217. (1) 1解： 由 = ，可得 2 = 1 = ，即 2 22 2 2 = 2 ①，
2 1
将点 ( 2, 1)代入椭圆方程可得 2 + 2 = 1②，
由①②可得 2 = 2， 2 = 4，
2 2
所以椭圆方程为 4 + 2 = 1．
(2)由题意可得 ( 2, 1)在椭圆 上，直线 和 的斜率分别为 ， 均存在，设 ( , )，
= 1 +1
2
则 2， = + 2，则 =
1
2 2①，

2 2
又因为点 在椭圆上，所以 4 + 2 = 1，即
2 = 4 2 2，
2
代入①可得， =
1 1
4 2 2 2 = 2，
1
所以直线 和 的斜率之积为定值 2．
18.(1)证明：∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)解：设 与 交于点 ，连接 ，在平面 内作 ⊥ 于点 ，
在平面 内作 ⊥ 于点 ，连结 ，
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∵ = = 2，∴ ⊥ ，∵ ⊥面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角，
∵ = 8 = 6 ⊥ ∴ = 10 ∴ = ， ， ， ， =
24
5，
∵ ⊥ 平面 ，∴ ⊥ ，∵ 2 = 2 ( )22 = 34，∴ = 34，
∴ 2 = 2 + 2 = 98， = 7 2，
∴ = 8 17， = 7 ∴ sin∠ =
= 5 17， 21
即二面角 的正弦值为5 17．
21
19.解：(1) ′( ) = 1 1， ∈ ，
当 ≤ 0 时，易知 ′( ) < 0，所以函数 ( )在 上单调递减，
当 > 0 时，令 ′( ) = 1 1 = 0，解得 = 1 ，
令 ′( ) > 0，解得 > 1 ，即 ( )在(1 , + ∞)上单调递增，
令 ′( ) < 0，得 < 1 ，即 ( )在( ∞,1 )上单调递减，
综上，当 ≤ 0 时，函数 ( )在 上单调递减，
当 > 0 时， ( )在( ∞,1 )上单调递减，在(1 , + ∞)上单调递增；
(2)令 ( ) = ( ) + = 1 1， ∈ (0, + ∞)，
(1) = 0 1 1 = 1，故 1 ≥ 0 恒成立，即 ≥ 1，
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′( ) = 1 1 1 ，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) =
1 + 2，
所以 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 = 1 1时， ′( ) = 1 ，又 ′(1) = 0，
有 ∈ (0,1)， ′( ) < 0，即 ( )单调递减，
∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0，即 ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0 1 1 = 0，
所以当 = 1 时， ( ) + ≥ 0 成立；
1
当 > 1 1时，可得 1 < 0，∴
1 < 1，
1 1 1
所以 ′( ) =
1 = ( 1 1) < 0，
又 ′(1) = 1 > 0，
所以存在 0 ∈ (
1
, 1)，使得 ′( 0) = 0，即
0 1 = 1 ，0
∈ (0, 0)， ′( ) 0， ∈ ( 0, + ∞)， ′( ) 0，
所以函数 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) ≥ ( 0) = 0 1 0 1，由 0 1 =
1
可得 + 0 1 = 0，0
( ) ≥ + 10 2+ > 0，0
综上， 的取值范围为 ≥ 1；
证明：(3)由(2)知，当 = 1 时，有 ( ) + ≥ 0，即 1 ≥ + 1，
+1 1
令 = +1 , ∈ ，得 > ln + 1 = ln( + 1) + 1，
1 1
∴ + 2 + + > 2 1 + 3 2 + 4 3 + + ln( + 1) + ，
1 1
∴ + 2 + + > ln( + 1) + ，
即
1
=1 > ln( + 1) + ．
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