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2024-2025 学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ | ≤ 2}， = { 1,0,1}，则集合 ∩ =( )
A. {1} B. {0,1} C. { 1,0,1} D. { 1,0,1,2}
2 1 .已知 = 2，则 tan( 4 ) =( )
A. 3 B. 3 C. 1 13 D. 3
3.已知 > 0， > 0，若 = 4，则 + 的( )
A.最小值为 4 B.最大值为 4 C.最小值为 8 D.最大值为 8
4.在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是( )
A.残差图带状区域越宽 B.残差和越小
C.决定系数 2越大 D.相关系数 越大
5.下列求导正确的是( )
A. ( ) 1′ = 2 B. ( )′ =
C. (cos2 )′ = 2 D. ( )′ =
1+
2
6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问 100 名学生能否做到“光盘”行动，得到如
下列联表(单位：人)：
“光盘”行动
性别
做不到 能做到
女 46 9
男 31 14
附表：
2 ( )
2
= ( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01 0.005
0 2.706 3.841 6.635 7.879
经计算 2 ≈ 3.04.则下列结论正确的是( )
A.依据 = 0.005 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”
B.依据 = 0.01 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”
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C.依据 = 0.05 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”
D.依据 = 0.1 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”
7.已知随机变量 服从正态分布 (3, 2)，则( )
A. ( < 4) < ( < 3) B. ( < 3) < ( > 4)
C. ( > 4) > ( > 3) D. ( > 3) < ( < 4)
8.函数 ( ) = lg( + 1 + 2) + 2 + 4 在[ 2025,2025]上的最大值和最小值之和为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 4050
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于(1 2 )7的展开式，下列结论正确的是( )
A.第 2 项为 14 B. 2的系数为 84
C.各项系数和为 2 D.二项式系数的和为 128
10.已知函数 ( ) = 3 12 2 ，则( )
A. ( )最小正周期为
B. = 3是该函数的一个极值点
C. 5 1当 ∈ [0, 12 ]， ( )的取值范围是[ 2 , 1]
D. ( )图象可由 ( ) = 2 的图象向右平移6个单位长度得到
11.小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一
2 3
起爬山时，选择甲路线的概率为3，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为4，若小明与父母一起
3
爬山的概率为5，则下列结论正确的是( )
A.“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件
B. 1小明与父母一起选择乙路线登山的概率为5
C. 1小明选择甲路线登山的概率为2
D. 1已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2,1), = (1, )，若( ) ⊥ ，则 = ______．
13.不等式( 2)ln( + 1) ≥ 0 的解集为______．
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14.某外卖电商平台把 ， ， ， 四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手至少接到 1 单，
且每个订单都要有骑手接单.订单分派系统通过地址定位发现 订单派送位置距离小王太远，因此不会将
订单分派给小王，则满足条件的订单分派方案种数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知函数 ( ) = 2 +2 ．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)讨论函数的单调性．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 10, = 2 ,

= 9．
(1)求 ；
(2)若 为∠ 的平分线，点 在 上，求 的长．
17.(本小题 15 分)
袋子里有除颜色外完全相同的 6 个小球，其中 3 个白球，2 个黑球，1 个红球．
(1)若不放回的抽取 3 个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2)若有放回的抽取 3 次小球，每抽到一次红球得 2 分，抽到白球或黑球不得分.求积分 的分布列，以及
的期望和方差．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + ， ∈ ．
(1)若 = 2，求函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)若函数 ( )在区间(0, + ∞) 4 存在两个不同零点 1， 2，证明： 1 + 2 < 3．
19.(本小题 17 分)
在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为 次赢 次输.为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序
列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列
前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程
的总个数记为 .假设校篮球队比赛的输赢序列具有 个赢的游程， (1 ≤ ≤ )表示第 个赢的游程长度，其
中 > 0，且 1 + 2 + + = ，则记向量 = ( 1, 2, , )； 表示第 个赢的游程以前连续输的次数，
+1表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中 ≥ 0，且 1 + 2 + + +1 = ，记向量 =
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( 1, 2, +1).例如，用 表示赢， 表示输，当 = 10， = 6，一个输赢序列记为
.这个序列共有 7 个游程，其中 4 个赢的游程，故 = 7， = 4，游程的长度
依次为 2，2，3，1，1，3，4，向量 = (2,3,1,4)， = (0,2,1,3,0)．
(1)已知篮球队的比赛成绩为 3 次赢，2 次输，即 = 3， = 2，若 = 2，请写出所有满足条件的输赢序列，
以及对应的向量 = ( 1, 2, , )和 = ( 1, 2, , +1)；
(2)若篮球队有 6 次赢，4 次输．
( )求具有 3 个赢的游程的概率；
( )求具有 7 个游程的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.( 1,0] ∪ [2, + ∞)
14.24

15.(1)根据题意， ( ) = 2 22 +2 ，其定义域为 ，
2 ( ) = 2 = 2
2
有 2 +2 2 +2 = ( )，则函数 ( )为奇函数，
2
(2)根据题意， ( ) = 2 2 2 1 2 22 +2 = 22 +1 = 1 22 +1 = 1 4 +1，其定义域为 ，
1 2
设 1 < 2， ( 1) ( 2) = (1
2 ) (1 2 ) = 24 1+1 4 2+1 4 2+1
2 = 2(4 4 )4 1+1 (4 1+1)(4 2+1)，
又由 1 < 2，则(4 1 + 1) > 0，(4 2 + 1) > 0，4 1 4 2 < 0，
故 ( 1) ( 2) < 0，
即函数 ( )在 上为增函数．
16.解：(1)因为 = 2，在△

中，可得 + = 2，
所以 = ，

因为 = 9，
由正弦定理整理可得：sin2 = 9 2 = 9 2 = 9(1 sin2 )，
解得 = 3 10；10
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(2)由题意 = 3 10, = 10, ∠ = ∠ = 45°，
1 1 1
由等面积法可得2 sin∠ + 2 sin∠ = 2 ，
即 ( 10 + 3 10) 22 = 10 3 10，
解得 = 3 5．2
1 2 2 1 1 1 1
17.(1) + 既抽到白球也抽到黑球的概率为 = 3 2 3 2+ 3 2 1 3
3
=
6 4
．
(2) 1由题设抽到红球的次数为 ，则 ～ (3, 6 )，则 = 2 ，
所以 的可能取值为 0，2，4，6，
所以 ( = 0) = 0 1 0 5 3 1253( 6 ) ( 6 ) = 216， ( = 2) =
1 1 1 5 2 75
3( 6 ) ( 6 ) = 216，
( = 4) = 2( 1 2 5 1 153 6 ) ( 6 ) = 216， ( = 6) =
3 1 3 5 0 1
3( 6 ) ( 6 ) = 216，
所以 的分布列为
0 2 4 6
125 75 15 1216 216 216 216
所以 ( ) = (2 ) = 2 ( ) = 2 × 3 × 16 = 1，
( ) = (2 ) = 4 ( ) = 4 × 3 × 1 × 5 56 6 = 3．
18.(1)根据 = 2，即函数 ( ) = 3 2 2 + 2，得 (1) = 1，
那么导函数 ′( ) = 3 2 4 ，得 ′(1) = 1，
因此点(1, (1))处的切线为 1 = ( 1)，即 = + 2．
(2)根据题意可得导函数 ′( ) = 3 2 2 = (3 2 )，
令导函数 ′( ) = 0，得 = 0 = 2 或 3，
当 > 0 时，若 ∈ ( ∞,0)时，导函数 ′( ) > 0，那么函数 ( )在( ∞,0)上单调递增，
2 2
若 ∈ ( 3 , + ∞)时， ′( ) > 0，则 ( )在( 3 , + ∞)上单调递增，
∈ (0, 2 ) ( ) < 0 ( ) (0, 2 若 3 时， ′ ，则 在 3 )上单调递减，
当 = 0 时， ′( ) ≥ 0，那么函数 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，若 ∈ ( 2 , 0) 2 3 时，导函数 ′( ) < 0，那么函数 ( )在( 3 , 0)上单调递减，
2 2
若 ∈ ( ∞, 3 )时，导函数 ′( ) > 0，那么函数 ( )在( ∞, 3 )上单调递增，
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若 ∈ (0, + ∞)时，导函数 ′( ) > 0，那么函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
综上，当 = 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
> 0 2 2 当 时， ( )的单调递增区间为( ∞,0)和( 3 , + ∞)，单调递减区间为(0, 3 )；
2 2
当 < 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞, 3 )和(0, + ∞)，单调递减区间为( 3 , 0)．
(3)证明：设 1 < 2，
根据第二问，若存在 1、 2是 ( )在区间(0, + ∞)的两个不同零点，
那么 ( 1) = ( 2)，且 > 0，得 1 ∈ (0,
2 2
3 )， 2 ∈ ( 3 , + ∞)，
4
那么 3
2 4
1 ∈ ( 3 , 3 )，
2
又因为函数 ( )在( 3 , + ∞)上单调递增，
+ < 4 4 那么 1 2 3 2 < 3 1 ( 2) < (
4
3 1)，
又 ( 1) = ( 2)
4
，因此只要证明 ( 1) < ( 3 1)即可．
设函数 ( ) = ( ) ( 4 3 )， ∈ (0,
2
3 )
那么导函数 ′( ) = (3 2 ) + ( 4 3 )(3 2 ) =
2 2
3 (3 2 ) > 0， ∈ (0,
2
3 )
( ) 2 因此函数 在(0, 3 )上单调递增，
2
因此 ( ) < ( 3 ) = (
2
3 ) (
2
3 ) = 0，
因此当 ∈ (0, 2 3 )时， ( ) < 0 成立，
2
所以当 ∈ (0, 3 )时， ( ) < (
4
3 )成立，
( 4 即 1) < ( 3 1)成立，
+ < 4 即 1 2 3成立．
19.(1)满足条件的输赢顺序及对应向量分别为：
， = (1,2)， (1,1,0)，
， (2,1)， (1,1,0)，
， (1,2)， (0,1,1)，
， (2,1)， (0,1,1)，
， (1,2)， (0,2,0)，
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， (2,1)， (0,2,0)．
(2)( )篮球队有 6 次赢，4 次输赢序列，即“6 个 ，4 个 的排列”，共有 610 = 210．
先考虑向量 ( 1, 2, 3)的个数，
即方程 1 + 2 + 3 = 6，( ≥ 1, = 1,2,3)解的个数，为 25；
再考虑向量 ( 1, 2, 3, 4)的个数，
即方程 1 + 2 + 3 + 4 = 4，( > 0, = 2,3, ≥ 0, = 1,4)解的个数，
令 = ， = 2，3， = + 1， = 1，4，
因为方程 1 + 2 + 3 + 4 = 6，( 3 ≥ 1, = 1,2,3,4)解的个数为 5，
所以向量 的个数为 35，
故具有 3 个赢的游程的排列有 2 35 5 = 100 个，
2 3 10
所以具有 3 个赢的游程的概率 = 5 56 = ． 10 21
( )因为输赢的游程个数相差 1，
2
故一种可能是 3 个赢的游程，4

个输的游程，其概率 = 5 = 11 210 21，
2 2 1
另一种可能是 4 个赢的游程，3 个输的游程，同( )计算方式知，其概率 = 5 32 210 = 7，
故具有 7 4个游程的概率为 = 1 + 2 = 21．
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