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2024-2025 学年河北省承德市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足( 2 )(1 ) = 2，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + 3 D. 1 3
2.已知随机变量 服从 0 1 分布，且 ( = 1) = 2 ( = 0) 1，则 ( = 0) =( )
A. 1 B. 1 C. 33 2 5 D.
2
3
3.(1 2 )7的展开式中 3的系数为( )
A. 280 B. 35 C. 35 D. 280
4.一个不透明的箱子中装有 9 本书，其中有《三国演义》3 本，《西游记》6 本，每次从该箱子中任取 1
本书，记录下书名后放回，共取 4 次，记取出《三国演义》的次数为 ，则 ( ) =( )
A. 83 B. 2 C.
4
3 D. 1
5.某班选派 6 名同学到学校的 ， ， 这 3 个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去 1 名同学，每名同
学只能去 1 个场地，且 3 个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为( )
A. 90 B. 360 C. 450 D. 990
6.若函数 ( ) = 3 2 + 2在 = 1 处有极值 4，且 ( )的所有极值点的符号相同，则实数 =( )
A. 2 B. 3 C. 3 D. 2
7.为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批 10～15 岁的青少年参加暑期夏令营，
共有 20000 名学生参加选拔测试，其测试成绩(满分 120 分) ～ (70， 2)，成绩为 100 分及以上者可以
参加夏令营.已知参加选拔测试的学生中 80 分及以上的人数为 3173，则估计参加夏令营的人数约为( )
附： ( < < + ) ≈ 0.6827， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 < < + 3 ) ≈ 0.9973．
A. 18 B. 27 C. 34 D. 55
8 .若不等式 ≤ 1 对任意 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. [0,1] B. [0, + ∞) C. ( ∞,0] D. ( ∞,1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ∈ ，且 ≥ ≥ 2，则( )
A. 5 2020 6 62025 = 2025 B. 9 = 9 66
C. + 1 = +1 D. 1 1 =
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10.某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，黄盒
内有 2 个红球、1 个绿球，绿盒内有 1 个红球、2 个黄球.规定第一次先从红盒内任取 1 个球，再将取出的
球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取 1 个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红
球获得 1 张优惠券，抽到黄球获得 2 张优惠券，抽到绿球获得 3 张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客
最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是( )
A. 1在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是4
B. 1顾客最终获得 6 张优惠券的概率是12
C. 5第二次抽到红球的概率是12
D. 1若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为11
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，且 ( 1)为奇函数， ( + 1)为偶函数， ′(0) = 2，
则( )
A. (0) + ( 2) = 0 B. ′( + 1) = ′( 3)
C. ′(6) = 2 D. ′(2004) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = 2 + 1 + (3 2) 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围是______．
13.有 6 张卡片，分别标有数字 1，2，3，4，5，6.现从这 6 张卡片中随机抽出 3 张，则抽出的 3 张卡片上
的数字之和比剩余的 3 张卡片上的数字之和小 3 的概率为______．
14.已知 > 0 且 ≠ 1，若 3 + = 0，4 3 + + = 0，则 +2 2 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认
为 将在未来取代一部分人的工作.现对 300 家企业开展调查，统计 的应用程度与一年内
招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示．
的应用程度招聘人数减少的企业数招聘人数增加的企业数合计
广泛应用 90 70
未广泛应用 80 140
合计 150 150 300
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(1)求 ， ；
(2)记广泛应用 的企业招聘人数减少的概率为 ，求 的估计值；
(3)根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与 的应用程度有关？
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.(本小题 15 分)
作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势.某无人机生产厂家的某批次的 20
件产品中含有 (3 ≤ ≤ 7, ∈ )件次品，从中一次性随机抽取 10 件，设这 10 件产品中的次品数为 ．
(1)若 = 3，求 ≤ 1 的概率；
(2)当 为何值时， = 3 的概率最大？
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 4．
(1)求 ( )的极值；
(2)若对任意的 ∈ (2, + ∞) < + ，都有 2 ，求 的最大整数值．
参考数据： 2 ≈ 0.7， 3 ≈ 1.1．
18.(本小题 17 分)
2025 年 4 月，中国新能源汽车零售渗透率突破 51%，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为
关注焦点.经调查，某市今年 1 6 月份的充电桩日均使用时长 (时)与新能源汽车保有量 (万辆)及充电桩日
均使用率 0( 0 = , ，为常数)的数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
新能源汽车保有量 (万辆) 8 13 15 18 23 25
充电桩日均使用时长 (时) 5 7 10 12 15 17
充电桩日均使用率 0 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51
(1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在 3 月份的某 3 天
中被使用的天数为 ，求 的分布列；
(2)求 关于 的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；(精确到 0.01)

(3)若 关于 的经验回归方程为 = 1.2，求 的值(精确到 0.1)，并预测当该市某月的新能源汽车保有量
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为 36 万辆时，充电桩的日均使用率为多少．

参考数据：6 =1 = 1267， (
6 2 2 6 2 2
=1 6 )( =1 6 ) ≈ 146．


参考公式：相关系数 = =1

．
( 2 2 2 =1 )( =1 2)
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．
(1)求 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间；
(3)若 > 0，且不等式| ( ) | + ( ) > 0 对任意 > 0 恒成立，证明： < +1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1 , 22 3 )
13. 320
14.1
15.(1)根据题意可得 = 160， = 60；
(2) 90 9估计广泛应用 的企业招聘人数减少的概率为 = 160 = 16；
(3)零假设 0：企业招聘人数的增减与 的应用程度无关．
2
因为 2 = 300×(90×80 60×70) 75160×140×150×150 = 14 ≈ 5.357 < 6.635，
所以根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此可认为企业招聘人数的增减与 的应用程度无关．
16.(1)记“抽取的产品中次品数不超过 1”为事件 ，
0 10 1 9 ( ) = ( = 0) + ( = 1) = 3 17 + 3 17 = 19 = 1则
10 10
；
20 20 38 2
3 7
(2)由题可知 ( = 3) = 20 (3 ≤ ≤ 7, ∈ )，
1020
3 7
设 ( ) = 20 10 (3 ≤ ≤ 7, ∈ )， 20
3 7
则 ( 1) = 1 21
10
( ≥ 4)，
20
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( ) =
7
令
3 20 = (14 ) ( 1) 3 7 1 21 ( 3)(21 )
> 1，
得 (14 ) > ( 3)(21 )，
解得 4 ≤ < 6.3．
故当 4 ≤ < 6.3 时， ( ) > ( 1)，
当 6.3 < ≤ 7 时， ( ) < ( 1)，
又 ∈ ，故当 = 6 时， ( )取得最大值．
所以当 = 6 时， = 3 的概率最大．
17.(1) 2 2由题可知 ( )的定义域为(0, + ∞)，导函数 ′( ) = 1 = ( > 0)，
令导函数 ′( ) = 0，得 = 2，
当 0 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )在(0,2)上单调递减，
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )在(2, + ∞)上单调递增，
因此当 = 2 时，函数 ( )取得极小值，且无极大值，极小值为 2 2 2．
(2) ( ) = + ( > 2) ( ) = 2 4令函数 2 ，那么导函数 ′ ( 2)2 ，
根据第一问知 ( ) = 2 4 在(2, + ∞)上单调递增，
且 (9) = 5 4 3 ≈ 5 4 × 1.1 = 0.6 > 0， (8) = 4 6 2 ≈ 4 6 × 0.7 = 0.2 < 0，
那么在(8,9)内存在唯一的 0，使得 ( 0) = 0 2 4 = 0 =
0 4
0 ，即 0 2 ．
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ (2, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
× 0 4+
( ) = ( ) = 0 0+ 0 = 0 2 0 那么 = 0 0 2 2 2 ∈ (4,4.5)，0 0

于是 < ( ) = 0 2 ∈ (4,4.5)，
所以 的最大整数值为 4．
18.(1)根据题意可知可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ～ (3,0.3)，
则 ( = 0) = 03 × 0．30 × 0．73 = 0.343，
( = 1) = 13 × 0．31 × 0．72 = 0.441，
( = 2) = 2 2 13 × 0．3 × 0．7 = 0.189，
( = 3) = 3 33 × 0．3 × 0．70 = 0.027，
故 的分布列为：
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0 1 2 3
0.343 0.441 0.189 0.027

(2)由题可知 = 8+13+15+18+23+25 = 17 = 5+7+10+12+15+176 ， 6 = 11，
6
= =1 6 ≈ 1267 6×17×11则 146 ≈ 0.99，(6 2 6 2 6 2 2 =1 )( =1 6 )
∵ | |接近于 1，∴ 与 的线性相关程度较强；
(3)由题可知 11 = 17 × 1.2，
解得 ≈ 0.7，

∴ 关于 的经验回归方程为 = 0.7 1.2，

将 = 36 代入经验回归方程，得 = 0.7 × 36 1.2 = 24，
0.15
又∵ = 0 = 5 = 0.03，∴当 = 24 时， 0 = 24 × 0.03 = 0.72，
故预测当该市某月的新能源汽车保有量为 36 万辆时，充电桩的日均使用率为 0.72．
19.(1)根据题可知导函数 ′( ) = ( + 1) ，则 ′(0) = 1，
又因为 (0) = 0，所以 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程为 = ．
(2)由题可知导函数 ′( ) = ，令 ′( ) = 0，可得 = 1，
当 > 1 时， ′( ) < 0，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )的单调递减区间为(1, + ∞)，单调递增区间为(0,1)．
(3) 证明：根据题可知| ( ) | + ( ) > 0，即| | + > 0．
由于函数 ( ) = 在(0, + ∞)上单调递增，
( ) = ( 1) > 0， (0) = < 0，
因此 0 ∈ (0, )，使得 ( 0) = 0 0 = 0．
当 ∈ (0, 0)

时， < 0，即 < 0．
设函数 ( ) = + ，那么在(0, 0)上，导函数 ′( ) =

2 < 0，
因此函数 ( )在(0, 0)上单调递减，
因此当 ∈ (0, 0)时， ( ) > ( 0) = 0 + ．
当 ∈ [ 0, + ∞)

时， ≥ 0，即 ≥ 0．

设函数 ( ) = + > 0， ∈ [ 0, + ∞)，
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2
那么导函数 ′( ) = + + 2 = 2 ．
令函数 ( ) = 2 + ， ∈ [ 0, + ∞)，那么导函数 ′( ) = ( 2 + 2 ) ．
令函数 ( ) = ( 2 + 2 ) ， ∈ [ 0, + ∞)，
那么导函数 ′( ) = ( 2 + 4 + 2) > 0，得 ( )在[ 0, + ∞)上单调递增，
因此导函数 ′( ) = ( ) ≥ ( 0) = ( 20 + 2 0) 0 = 0 + > 0，
得 ( )在[ 0, + ∞)上单调递增，因此 ( ) ≥ ( 0) = 2 0 0 + 0 = > 0，
那么导函数 ′( ) > 0， ( )在[ 0, + ∞)上单调递增，
那么 ( ) ≥ ( 0) = 0 + ．
由题可知 0 + > 0，解得 0 < 0 < ．
又 = 0 0，所以 < +1．
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