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2024-2025 学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 .已知复数 = 1 3 (其中 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 12 B.
1
2 C.
1 1
2 D. 2
2.在 的终边上取一点为 (3, 4)，则 =( )
A. 4 3 4 35 B. 5 C. 5 D. 5
3.已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, )，且 // ，则 + 3 =( )
A. ( 5, 10) B. ( 4, 8) C. ( 3, 6) D. ( 2, 4)
4.圭表(如图 1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称
为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日
影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图 2 是一
个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ )为 26°，夏至正午太
阳高度角(即∠ )为 73°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即 的长)为 ，则表高(即 的长)为( )
A. 53° B. 26° 73° 2 47° 26° 73°2 47 47 C. 53 D. 47
5.下列说法正确的是( )
A.底面是矩形的平行六面体是长方体
B. 6正四面体的高为其棱长的 4 倍
C.用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形
D.过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
6 sin( + 3 ) = 3 cos( + 2025 .若 2 5，且 是第三象限角，则 2 ) =( )
A. 35 B.
4
5 C.
3
5 D.
4
5
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7.如图，在平行四边形 中， = 2，∠ = 60°， 为 的中点，若 = 4，则 =( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
8.将函数 ( ) = 2 ( + 4 )( > 0)

的图像向左平移2个单位，得到函数 ( )的图像，若 ( )为奇函数，
则 的最小值是( )
A. 1 B. 1 C. 32 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 ，则下列说法正确的是( )
A.若| | = 2，则 =± 2 B.若 2 > 0，则 ∈
C.若| | = 1，则 1 ≤ | 2| ≤ 3 D. | |2 = 2
10.已知 1是△ 所在平面内一点， = 2， = 3， = 3，则下列说法正确的是( )
A. △ 9 2外接圆的半径为 8
B. △ 内切圆的半径为 2
C.若 是△ 的外心，则 在 上的投影向量为
D.若 是△ 的垂心，则 2在 上的投影向量为 9
11.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰△ ，△ ，△ ，△ 拼成，其中线段 ， ，
的中点均为点 ， = 3 = 2 3.若将该平面图形绕着直线 旋转半周所围成的几何体记为 1，将该
平面图形绕着直线 旋转半周所围成的几何体记为 2，直线 ⊥直线 ，则( )
A. 1的体积为
20 3
3
B. 2的体积为 4
C.经过两次旋转后，点 所有的运动轨迹总长为 4
D. 2的表面积为(12 + 4 3)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知正三棱柱的高为 2，底面边长为 6，则该三棱柱的外接球的体积为______．
13.已知 ∈ (0, 2 )，且 cos( +

4 ) =
5
13，则 = ______．
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14.设 次多项式 ( ) = + 1 2 1 + … + 2 + 1 + 0( ≠ 0)，若其满足 ( ) = ，则称

这些多项式 ( )为切比雪夫多项式.已知 ( ) = (cos ) (cos ) + (cos ) (cos ) + (cos )，则 ( 18 ) =3 2 2 1 1
( ) = 2 ( 2( )+ 4( ))
2
______；若 ，则 cos2 6(cos )
= ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7， = 2，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像，如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)将函数 ( ) 1的图像向右平移3个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得
到函数 ( )的图像，求函数 ( ) 在区间[0, 2 ]上的单调递增区间．
17.(本小题 15 分)
如图，在扇形 中，半径 = 2 ，圆心角∠ = 3， 是扇形弧上的动点，矩形 内接于扇形，记
∠ = ，矩形 的面积为 ( )．
(1)求 ( )，并求当 ( )取得最大值时 的值；
(2)若 ( ) ≥ 2 2 33 ，求 的取值范围．
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18.(本小题 15 分)
如图，已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积记为 ，且 2 + 4 3 = ( + )2， 是
的中点，点 在线段 上且 = 2 ，线段 与线段 交于点 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)若 = 9 3，且点 是△ 的重心，求线段 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，我们把由平面内夹角为 60°的两条数轴 ， 构成的坐标系称为“完美坐标系”，设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
(1)若向量 的“完美坐标”为[3,4]，求| |；
(2)已知[ 1, 1]，[ 2, 2]
1
分别为向量 ， 的“完美坐标”，证明： = 1 2 + 1 2 + 2 ( 1 2 + 2 1)；
(3)若向量 ， 的“完美坐标”分别为[2 , 1]，[2 , 1] ，设函数 ( ) = ，若对任意的 ∈ (0, 2 )，不
等式 ( ) ≥ 2 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 3
13.17 226
14. 3 43 3
15.(1)由正弦定理化简 + = 2 可得：
+ = 2 ，
由两角和的正弦公式可得 sin( + ) = 2 ，
因为在△ 中， + = ，则 sin( + ) = sin( ) = ，
所以 = 2 ，
因为 ∈ (0, )，所以 2 = 1，即 = 12，
又因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2) 已知 = 7， = 2， = 3，根据余弦定理代入可得：
( 7)2 = 22 + 2 2 × 2 × × cos 23，化简可得 2 3 = 0，
解得 = 3 或 = 1(舍)，
1 1 3 3 3
根据三角形面积公式可得 = 2 × 2 × 3 × sin 3 = 2 × 2 × 3 × 2 = 2 ．
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16.(1)函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图像，
由图得 = 2 ，所以 = = 2．
由 ( 56 ) = 0
5
，得 ( 3 + ) = 0，
5
所以3 + = 2 , ∈ ，解得 = 2
5
3 , ∈ ．
又因为| | < 2，故当 = 1 时， = 3．
又由 (0) = 3，得 = 3, = 2．
故 ( ) = 2 (2 + 3 )．
(2)将 ( ) = 2 (2 + 3 )

的图像向右平移3个单位，

得到 = 2 [2( 3 ) + 3 ] = 2 (2

3 )的图像，
1
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，
( ) = 2 (4 得到 3 )的图像．
由 2 2 ≤ 4
5
3 ≤ 2 + 2， ∈ ，得 2 24 ≤ ≤ 2 + 24 ( ∈ )，
= 0 5 11 17 当 时， 24 ≤ ≤ 24；当 = 1 时， 24 ≤ ≤ 24，
5 11
因为 ∈ [0, 2 ]，所以函数 ( )在区间[0, 2 ]上的单调递增区间为[0, 24 ]，[ 24 , 2 ]
17.(1)根据题意可知 = = 2 ， = 2 ，
在 △ 中， = 60° = 3，
3 2 3
所以 = 3 = 3 ，
所以 ( ) = = ( ) = (2 2 33 ) 2 ，
即 ( ) = 4 4 33 sin
2
2 3
= 2 2 + 3 ( 2 1)
2 3 2 3
= 2 2 + 3 2 3
= 4 33 sin(2 +
2 3
6 ) 3 ．
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所以 ( ) = 4 3 2 3 3 sin(2 + 6 ) 3 , ∈ (0, 3 )；

因为 ∈ (0, 3 )，
所以 2 + ∈ ( , 5 6 6 6 )，
2 3
所以 2 + 6 = 2，即 = 6时， ( )取得最大值，为 3 ；
(2)由 ( ) = 4 33 sin(2 +

6 )
2 3 2 3
3 ≥ 2 3 ，
可得 sin(2 + ) ≥ 36 2 ，
因为 2 + 6 ∈ (
5
6 , 6 )，
2
所以3 ≤ 2 + 6 ≤ 3，解得12 ≤ ≤ 4，
2 3
即不等式 ( ) ≥ 2 3 的解集为[ 12 , 4 ]．
18.(1) 1因为 2 + 4 3 = ( + )2，因此 4 3 × 2 =
2 + 2 2 + 2 ，
解得 3 = + 1，可得 sin( 6 ) =
1
2，

又因为 ∈ (0, )，则 6 ∈ (

6 ,
5
6 )，
因此 6 = 6，因此 = 3；
(2) 、 、 三点共线且结合 = 2 3 ， =
1 2 ，有：
= + (1 ) = + 1 2 ，
= 2同理 、 、 三点共线且结合 ， = 1 3 2 ，有：
= + (1 ) = 2 3
+ (1 ) ，
= 23 =
1
则 21 ， ，
2 = 1 =
3
4
= 1
可得 = 1 + 1 ， 44 2 = 1
，
2
+ = 3因此 4；
(3) 1因为 = ( + 3 )，因此
= = 1 1 12 + 6 ，
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1
又因为 △ = 2 = 9 3，可得 = 36，
2
可得 = ( 1 + 1 )2 = 1
2
+ 1
2 1
12 6 144 36 36
2 2 2 2= 1144 + 36 72 ≥ 2 144×36 72 = 2，
当且仅当 = 2 = 6 2时，等号成立，
即| | ≥ 2 22 ，因此线段 的最小值为 2 ．
19.(1)因为 的“完美坐标”为[3,4]，则 = 3 1 + 4 2，
又因为 1， 2分别为 ， 正方向上的单位向量，且夹角为 60°，
所以| 1| = | 2| = 1， 1
1
2 = | 1|| 2| 60° = 2，
所以| | = (3 1 + 4 2)2 = 9 1
2 + 24 1 2 + 16
2
2 = 9 + 24 ×
1
2+ 16 = 37．
(2)证明：由(1)知 1 =
1
2 2，
所以 = ( 1 1 + 1 2) ( 2 1 + 2 2)
= 11 2 + 1 2 + 2 ( 1 2 + 2 1)，
即 = 11 2 + 1 2 + 2 ( 1 2 + 2 1)．
(3)因为向量 ， 的“完美坐标”分别为[2 , 1]，[2 , 1]，
由(2)得 ( ) = = 4 + 1 + 12 (2 + 2 )
= 2 2 + + + 1．
令 = + ，则 = + = 2sin( + 4 )
∈ (0, ) + ∈ ( 3 因为 2 ，所以 4 4 , 4 )，则 ∈ (1, 2],
又 2 = ( + )2 = sin2 + 2 + cos2 = 1 + 2 ，
即 2 = 2 1，
所以 ( ) = 2( 2 1) + + 1 = 2 2 + 1， ∈ (1, 2]．
已知 ( ) ≥ 2 恒成立，即 (2 2 + 1) ≥ 2 1 对 ∈ (1, 2]恒成立．
2
因为 ∈ (1, 2]时，2 2 + 1 > 0 1，所以 ≥ 2 2+ 1 =
( +1)( 1) 1
(2 1)( +1) = 2 1对 ∈ (1, 2]恒成立．
令 ( ) = 1 1 12 1 = 2 4 2， ∈ (1, 2], ( )单调递增，
当 = 2时， =
2 1 3 2
2 2 1 = 7 ．
第 8页，共 9页
3 2 3 2
所以 ≥ 7 ，即实数 的取值范围是[ 7 , + ∞)．
第 9页，共 9页

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