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2024-2025学年吉林省友好学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从位专家中选出位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是则这种产品的一级品率为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
附：若随机变量，则，，
A. B. C. D.
7.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型如图，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物年春节前，其中个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上即牛的图案在最上面，人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知变量与，且观测数据如表其中，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一袋中装有个大小相同的小球，其中个黑球，编号为，，，，，，个白球，编号为，，，，下列结论中正确的是．
A. 若有放回地摸取个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B. 若一次性地摸取个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C. 若一次性地取个球，则取到个白球的概率为
D. 若一次性地摸取个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
10.已知，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
11.某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有( )
临界值参照表：
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.满足方程的的集合为______．
13.为研究变量，的相关关系，收集得到如下数据：
若由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为，则 ______．
14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束已知该粒子初始位置在号仓，则试验结束时该粒子是从号仓到达容器外的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加分别求在下列情况下的不同报名方法的种数．
甲、乙报同一项目，丙不报项目；
甲不报项目，且、项目报名的人数相同．
16.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
17.本小题分
某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得分，三步篮投中得分，不中得分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮次，三步上篮次．
Ⅰ求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中次”的概率；
Ⅱ求该同学的总得分的分布列和数学期望．
18.本小题分
年月，由于疫情的影响，各地学生在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为：，男生中有人对线上教育满意，女生中有人表示对线上教育不满意．
完成下面的列联表，并依据的独立性检验，分析对线上教育是否满意与性别是否有关：
单位：人
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层随机抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为，求的分布列及期望．
附：，其中．
19.本小题分
已知函数，．
若，求的图象在处的切线方程；
若对于任意的恒成立，求的取值范围；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，丙不报项目，有种报名方法，
甲、乙报同一项目，则甲乙的报名方法有种，
丁的报名方法只有种，
故此时有种报名方法；
根据题意，甲不报项目，且、项目报名的人数相同，
分种情况讨论：
若、项目各有一人，有种报名方法，
若、项目各有两人，有种报名方法，
所以甲不报项目，且、项目报名的人数相同共有种．
16.解：当时，，
，
因此，，
所以曲线在处的切线方程为，
即为；
因为的导数为，
而函数在处取得极值，
所以，即，解得，
因此，．
由得或；由得，
因此函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．
又因为当时，；当时，，
作函数的图象如下图，
由图可知：函数在处取得最大值；在处取得最小值．
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的最大值为，最小值为．
17.解：Ⅰ设该同学“罚球位上定位投中”为事件，“三步篮投中”为事件，
“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中次”为事件，
则，
所以；
Ⅱ的可能取值为，，，，，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：


故 E，
则该同学得分的数学期望是分．
18.列联表如下
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
认为对线上教育是否满足与性别有关．
的分布列为
数学期望：．
19.由已知得：，所以，
所以，，则在处的切线方程为，
得切线方程为；
若对恒成立，
只需即可，
由已知得：，
设，则，
当时，，则，在上单调递增，
且，所以，
此时在上单调递增，又，
所以对恒成立；
当时，，
令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
在上有，不符合题意．
综上，，即实数的取值范围为．
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