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2024-2025 学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 ( 1,3)， (1,2)，则 =( )
A. ( 2, 1) B. ( 2,1) C. ( 1,2) D. (2, 1)
2.下列几何体是棱台的是( )
A. B. C. D.
3.(1 2 2 ) =( )
A. 3 4 B. 3+ 4 C. 3 4 D. 3 + 4
4.若数据 1，2，5， ，2，2 的极差是它们众数的 2 倍，则满足条件的正整数 的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.已知正四棱锥 的所有棱长均相等，则直线 与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不
可能为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.2 40° 3 10° =( )
A. 10° B. 20° C. 40° D. 50°
7.在梯形 中， // ， = 2 ， = + 1 3 ，当点 在△ 内部运动时， 的取值区间为( , )，
则 + =( )
A. 7 B. 17 36 12 C. 2 D.
19
12
8.如图， 是半径为 4 的半圆 的直径，点 ， 在弧 上，若 = ，则四边形 周长的最大值为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三条不同的直线 ， ， 和平面 ，且 // ，则下列结论正确的是( )
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A.若 // ，则 // B.若 // ，则 //
C.若 与 相交，则 与 相交 D.若 与 相交，则 与 相交
10.欧拉公式 = + 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为

“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 = 3 ，则( )

A. 2 的虚部为 1 B. = 3
C. | 2025| = 1 D. 0 1 + 2 3 + 2025 = 1
11.将函数 ( ) = 2 + 3 2 的图象向左平移4个单位长度后得到函数 ( )的图象，若 ( ) = ( ) ( )，
( ) = ( ) ( )，则( )
A. ( )与 ( )的最小正周期相同
B. ( )与 ( )的对称中心完全相同
C. ( )与 ( )在[ 4 ,

4 ]上的值域相同
D. ( )与 ( ) 47 59 的图象在[0, ]上恰有四个交点时， 的取值范围为[ 24 , 24 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 在单位向量 上的投影向量为 ，则 = ______．
13.函数 ( ) = sin4( ) cos412 (

12 )， ∈ [

2 , ]的单调递减区间为______．
14.已知△ 中， ⊥ ， = 2，若将△ 绕直线 2旋转一周，所得几何体的内切球半径等于3 ，
则该内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
对于向量 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，定义运算 = ( 1 2, 1 2)，已知向量 = (1, )， = ( 2,2)， ∈ ．
(1)若 = ，求 的值；
(2)若(4 ) ⊥ ，求 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽
取 400 名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，
[130,150]这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图．
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(1)求 的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；
(2)从所抽取的数学成绩在[110,130)，[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取 名学
生，若这 名学生数学成绩的平均数为 126 分，方差为 50，且这 名学生中数学成绩在[130,150]内的只有 1
名，其数学成绩为 136 分，求这 名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．
17.(本小题 15 分)
如图，已知 是圆柱下底面圆的直径，点 是下底面圆周上异于 ， 的动点， ， 是圆柱的两条母线．
(1)证明： //平面 ；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当 为弧 的中点时，求直线 与平面 所成角的正切值．
18.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 (cos2 cos2 ) = ( )sin2B.
(1)求角 ；
(2)若△ 的边 上的高等于 ．
( )当 = 2 时，求 的值；
( )求△ 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 2， 为 的中点，平面 1 ⊥平面 ．
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(1)求证：△ 1 1是直角三角形；
(2) 为 1 1的中点， 为 与 1的交点，点 在线段 1 上， ⊥ ，若 //平面 ．
( )求侧面 1 1与底面 所成二面角的正弦值；
( )若点 2 101到平面 1 1的距离为 5 ，求三棱柱 1 1 1的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.[ 7 12 , ]
14.64 45
15.(1)因为 = (1, )， = ( 2,2)，
所以 = (2, 2 )， = ( 2 , 2)，
因为 = ，所以 2 = 2，解得 = 1；
(2)向量 = (1, )， = ( 2,2)，由题意得 4 = (6,4 2)，
又(4 ) ⊥ ，所以 12 + 8 4 = 0，解得 = 2，
此时 = (1,2)， = (2, 4)，
设 与 的夹角为 ，
= ( ) (2, 4) (1,2) 6 3则 | | | | = 4+16× 1+4 = 2 5× 5 = 5，
所以 与 夹角的余弦值为 35．
16.(1)由题意可得( + 2 + 4 + 0.0175 + 0.0125 + ) × 20 = 1，解得 = 0.0025；
由( + 2 + 4 ) × 20 = 7 × 0.0025 × 20 = 0.35 < 0.5，
0.35 + 0.0175 × 20 = 0.7 > 0.5，
所以这 400 名学生数学成绩的中位数 ∈ [90,110)，
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由 0.35 + ( 90) × 0.0175 = 0.5，解得 ≈ 99，
所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为 99 分．
(2) 0.0025 1依题意，0.0125 = 0.0125 = 1，解得 = 6，
设这 6 名学生的数学成绩分别为 1， 2， 3， 4， 5，136，
由这 6 名学生的数学成绩的平均数为 126 分，
1+ 2+ 3+ 4+ 5+136得 6 = 126，
整理得 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 620，
所以数学成绩在[110,130)内的这 5 名学生的平均数为：
1+ 2+ 3+ 4+ 5
5 = 124；
设 1， 2， 3， 24， 5的方差为 ，
由这 6 名学生的数学成绩的方差为 50，
5 1
得6 [
2 + (124 126)2] + 6 [0 + (136 126)
2] = 50，解得 2 = 36，
所以所求学生数学成绩的平均数为 124 分，方差为 36．
17.(1)证明：因为 ， 是圆柱的两条母线，
所以 // ，且 = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 是下底面圆的直径， 是下底面圆周上异于 ， 的动点，
所以 ⊥ ，
又因为 是圆柱的一条母线，所以 ⊥底面 ，
而 底面 ，所以 ⊥ ．
因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
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又由(1)知 // ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角．
设圆柱的底面圆半径为 ，母线长为 ，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，
所以 2 = 2 2，得 = ，即 = ，
又 为弧 的中点，所以 = = = 2 ，
所以在 △ 中， = 2 + 2 = 3 ，
在 △ 中，tan∠ = = 6， 3
所以直线 与平面 所成角的正切值为 6．
3
18.(1)由 (cos2 cos2 ) = ( )sin2 得 (sin2 sin2 ) = ( )sin2 ，
在△ 中，由正弦定理得 ( 2 2) = ( ) 2，
2 2 2
即 2 2 = ( ) = 2 ∴ = + = 1， 2 2，
∵ 0 < < ，∴ = 3；
(2)( )由(1)知 = 3，∵△ 的边 上的高等于 ，且 = 2，
∴△ 1的面积 = 2 =
1
2 ，∴ = = 2，
2∵ △ = 2 4 16在 中， sin2 ，即 = 3 = 3，
4
∴ = 38，
又△ 中， = cos( + ) = = 12，
∴ = 12 =
3 18 2 =
1
8；
( ) 由(1)及( )知 = 3， = ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 23 +
2 ，
∴ 2 + 2 = 2 + = 2 2 + ，
∵ 2 + 2 ≥ 2 ，∴ 2 2 + ≥ 2 ，解得 ≥ 1，当且仅当 = = 1 时，等号成立，
所 = 12 ≥
1 × 1 × 3 = 32 2 4 ，
即△ 3面积的最小值为 4 ．
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19.(1)证明：因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为三棱柱 1 1 1中， // 1 1，
所以 1 1 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 1 1 ⊥ 1 ，
即△ 1 1是直角三角形．
(2)( )如图，由 //平面 ，得 //平面 1 1 1，
因为 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 1 1 1 = 1 1，
所以 // 1 1，
又 为 1 1的中点， / / 1 1，
1
所以 1 =
1 = 1 = 2．
由(1)知 ⊥平面 1 ，因为 1 平面 1 ，
所以 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 为二面角 1 的平面角，
又 1 = ， = ，∠ = ∠ 1 = 90°，
所以△ ≌△ 1 ，
所以 1 = ，
又在△ 1 中， ⊥ ，
1△
所以 1
= 2
1 ∠ 1 1 1
=△ 1
= 2，
2
所以 sin∠ 1 =
1
2，
因为∠ 1 是锐角，所以∠ 1 =

6，
∠ = + = 2 所以 1 2 6 3，
得 sin∠ 31 = 2 ，
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即侧面 31 1与底面 所成二面角的正弦值为 2 ；
( )因为 2 101// 1， 为 的中点，点 1到平面 1 1的距离为 5 ，
1 10
所以点 到平面 1 1的距离 为点 1到平面 1 1距离的2，即 = 5 ．
由(1)及( )知， ⊥平面 1 ， 1 = ，∠ 1 =
2
3， 1 = 3 ，
因为 2三棱锥 1 = 三棱锥 ，且 1 = = = 2， = 4 ，1
1 1
所以3 × 2 sin
2
3 4
2 = 1 13 × 2 × 3 4
3 2 10
4 × 5 ，
平方整理得 5 4 26 2 + 32 = 0，
16
解得 2 = 5，或
2 = 2，所以 = 4 55 ，或 = 2．
因为 三棱柱 1 1 = 6 1 三棱锥 1 = 6 三棱锥 1
= 6 × 13 ×
1
2 × 3 4
3 2 × 104 5 ，
所以 = 4 5 4 5 3 16 10 16 155 时， 三棱锥 = 3 ×1 1 1 5 × 4 4 × 5 × 5 = 25 ；
= 2 3 10时， 三棱锥 1 1 = 3 × 2 × 4 1 4 × 2 × 5 = 6，
即三棱柱 16 151 1 1的体积为 25 或 6．
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