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2024-2025 学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若(2 ) = 2 3，则 =( )
A. 4 B. 2 5 C. 12 D. 165 5 25 25
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A.矩形的直观图是矩形 B.三角形的直观图是三角形
C.相等的角在直观图中仍然相等 D.长度相等的线段在直观图中仍然相等
3.某县有高中生 2000 人，初中生 3000 人，小学生 4000 人，幼儿园学生 1500 人，为了解该县学生的健
康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为 30 人，则抽出的幼儿园学生
人数为( )
A. 15 B. 20 C. 30 D. 40
4.如图，在△ 中，点 为线段 的中点，点 是线段 上靠近 的三等分点，则 =( )
A. 2 3
+ 13

B. 5 6
+ 16

C. 2 3 +
1 3
D. 5 6
1
6
5.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
D.若 ， ， // ， // ，则 //
6.已知正四棱台的上、下底边长分别为 2和 3 2，高为 2 2，则该棱台外接球的体积为( )
A. 16 B. 25 C. 27 D. 36
7.甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛
由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人
3 2
中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为4，乙答对的概率为3，且甲、
乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为( )
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A. 1 B. 1 C. 11 D. 1318 16 48 48
8.已知点 是边长为 3 的正三角形 所在平面内的一点，满足 + + = 0，过点 的动直线分别交
线段 ， 于点 ， ，则△ 面积的最大值为( )
A. 4 35 B. 3 C.
9 3 5 3
8 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.掷一枚骰子，记事件 为掷出的点数小于 4，事件 为掷出奇数点，则下列说法错误的是( )
A. ( ) = 23 B. ( ∪ ) =
2
3
C.事件 与事件 对立 D.事件 与事件 不相互独立
10.在△ 中， = 2， 为 中点， = 2，以下结论正确的是( )
A.若 = 2，则 = 4 B. △ 的面积的最大值是 2
C. 2 + 2 = 6 D. △ 的周长可能是 6
11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 ， ， 1 1的中点，则下列说法正确的
是( )
A.直线 1 与 1 是异面直线
B.直线 与 1 所成的角为4
C.若三棱锥 1 的所有顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为 14
D.过点 且与直线 1垂直的平面截正方体 1 1 1 1所得截面多边形的面积为 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校 10 位同学参加数学竞赛的成绩(单位：分)为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则
这 10 个数据的第 25 百分位数为______．
13.设复数 1， 2满足| 1| = | 2| = 4，且 1 + 2 = 2 3 + 2 ，则| 1 2| = ______．
14.在锐角△ 1中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若cos2 + sin2 + = 1，则 +
1
的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (1,2)， = ( 1,3)．
(1)求向量 在向量 方向的投影向量的坐标；
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(2)若(2 + ) ⊥ (3 )，求实数 的值；
(3)若 + 与 3 + 所成的角为锐角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
从三明市某高中学校1200 名男生中随机抽取50 名测量身高，被测学生身高全部介于155 和195 之间，
将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上
述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为 3．
(1)求第六组的频率；
(2)估计该校男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为 ， ，记| | > 5 为
事件 ，求事件 的概率 ( )．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 1， = 2， = 3， = 4，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 + = 2 ．
(1)求 ；
(2) △ 所在平面内一点 满足 = = ，若 = 2 3，求△ 的周长的最大值．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列 ( )：
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1， 2， ， 与 ( )： 1， 2， ， ，其中 ≥ 3，若同时满足：
①两个点列的起点和终点分别相同；
② +1 ⊥ +1，其中 = 1，2， ， 1．
则称 ( )与 ( )互为正交点列．
(1)判断 (3)： 1(0,0)， 2(1,2)， 3(3,0)与 (3)： 1(0,0)， 2(2, 1)， 3(3,0)是否互为正交点列，并说
明理由；
(2)已知 (4)： 1(0,0)， 2(2,2)， 3(4,0)， 4(6,2)与 (4)： 1， 2， 3， 4互为正交点列．
( )求 2 3；
( )若 2的横、纵坐标都取自集合 = { 2, 1,0,1,2}，写出所有符合条件的有序整点列 (4)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.80
13.4 3
14.(2, 7 36 )
15.(1)因为 = (1,2), = ( 1,3)，
所以 = 1 + 6 = 5，| | = ( 1)2 + 32 = 10，
5 1 3所以 在 方向的投影向量为
|
= 10 × ( 1,3) = ( 2 , 2 )． | | |
(2)已知平面向量 = (1,2)， = ( 1,3)，
则 2 + = (2,4) + ( , 3 ) = (2 , 4 + 3 )，3 = (3,6) ( 1,3) = (4,3)，
因为(2 + ) ⊥ (3 )，
所以(2 + ) (3 ) = 0
即 4(2 ) + 3(4 + 3 ) = 0，
解得 = 4．
(3)已知平面向量 = (1,2)， = ( 1,3)，
则 + = (1 , 2 + 3 ), 3 + = (2,9)，
因为 + 与 3 + 所成的角为锐角，
所以( + ) (3 + ) > 0，且 + 与 3 + 不共线，
由( + ) (3 + ) = 2(1 ) + 9(2 + 3 ) > 0，
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> 4解得 5，
当 + 与 3 + 共线时，
由 9(1 ) = 2(2 + 3 )，
解得 = 13，
因为 + 与 3 + 不共线，
1
所以 ≠ 3，
综上所述：实数 的取值范围为( 4 15 , 3 ) ∪ (
1
3 , + ∞)．
16.(1) 3因为第七组的人数为 3，所以第七组的频率为50 = 0.06，
则第六组的频率为 1 0.06 5 × (2 × 0.008 + 0.016 + 0.04 × 2 + 0.06) = 0.08．
(2)设这所学校男生的身高中位数为 ，
因为 0.008 × 5 + 0.016 × 5 + 0.04 × 5 = 0.32 < 0.5，
0.32 + 0.04 × 5 = 0.52 > 0.5，所以 170 < < 175，
由 0.04 + 0.08 + 0.2 + ( 170) × 0.04 = 0.5，解得 = 174.5，
所以这所学校男生身高的中位数为 174.5．
(3)样本身高在第六组[180,185)的人数为 50 × 0.08 = 4，设为 ， ， ， ，
样本身高在第六组[190,195]的人数为 5 × 0.008 × 50 = 2，设为 ， ，
则从中随机抽取两名男生有：{ , , , , , , , , , , , , , , }，
共 15 种情况，即 ( ) = 15，
当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件 发生，
所以事件 包含的基本事件为{ , , , , , , , }，
共 8 种情况，即 ( ) = 8，
根据古典概型概率公式得 ( ) = ( ) 8 ( ) = 15．
17.(1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)过点 作 // 交 于点 ，连接 ，
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则 与平面 所成角即为 与平面 所成角，
∵ ⊥平面 ，∴ 为 在平面 上的射影，
∴ ∠ 为直线 与平面 所成角，
∵ // ， // ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ = = 1， = = 3，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
在 △ 中， = 2 + 2 = 32 + 32 = 3 2，
△ 2 2在 中，sin∠ = ， = 3 2 = 3
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 2．
3
18.(1)由正弦定理化简已知等式可得 2 + = 2 ，
可得 2 ( + ) + = 2 ，
可得 2 + = 0，
又 ≠ 0，
= 1可得 2，
又 0 < < ，
2
可得 = 3；
(2)由于 = = ，可得( ) = 0，
可得 = 0，可得 ⊥ ，
同理可得 ⊥ , ⊥ ，
可得点 是△ 的垂心，
又 = 2 3，可得∠ = 3，
在△ 中，可知 = 2 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 3，
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可得 12 = ( + )2 3 ，
2
可得 12 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + )4 ，
即( + )2 ≤ 48，即 + ≤ 4 3，当且仅当 = = 2 3时等号成立，
所以 + + ≤ 6 3，即△ 的周长的最大值为 6 3．
19.(1)依题意可得 1 2 = (1,2), 2 3 = (2, 2), 1 2 = (2, 1), 2 3 = (1,1)，
所以 1 2 1 2 = 1 × 2 + 2 × ( 1) = 0, 2 3 2 3 = 2 × 2 + ( 2) × 2 = 0，
所以 1 2 ⊥ 1 2, 2 3 ⊥ 2 3，
又 (3)与 (3)的起点和终点分别相同，所以 (3)与 (3)互为正交点列．
(2)(ⅰ)解法一：因为 (4)与 (4)互为正交点列，所以 1(0,0)， 4(6,2)，
设 2( 2, 2)， 3( 3, 3)，
所以 1 2 = ( 2, 2), 2 3 = ( 3 2, 3 2), 3 4 = (6 3, 2 3)，
又因为 1 2 = (2,2), 2 3 = (2, 2), 3 4 = (2,2)，
1 2 ⊥ 1 2, 2 3 ⊥ 2 3, 3 4 ⊥ 3 4，
2 2 + 2 2 = 0 2 + 2 = 0
所以 2( 3 2) 2( 3 2) = 0，即 3 2 = 3 2，
2(6 3) + 2(2 3) = 0 3 + 3 = 8
所以 3 2 = 3 2 = 4，
所以 2 3 = (4,4)．
解法二：(ⅰ)依题意可得 1 2 = (2,2), 2 3 = (2, 2), 3 4 = (2,2), 1 4 = (6,2)，
因为 (4)与 (4)互为正交点列，
所以可设 1 2 = ( 1,1), 2 3 = (1,1), 3 4 = ( 1,1)，
1 4 = ( 1,1) + (1,1) + ( 1,1) = ( + , + + )，
+ = 6
由 1 4 = 1 4 = (6,2)，得 + + = 2 ，解得 = 4，
所以 2 3 = (4,4)．
(ⅱ)因为 1， 2 ∈ { 2, 1,0,1,2}，
又由(ⅰ)可知 2 + 2 = 0，
2 = 0 所以 2
= 1 2 = 1 2 = 2 2 = 2
2 = 0
或 2 = 1
或 = 1或 = 2或 ，2 2 2 = 2

①当 2
= 0
= 0时， 1(0,0)， 2(0,0)， 3( 3, 3)三点共线，不合题意，舍去，2
2 = 1 3 2 = 3 2 3 + 1 = 1②当 3 2 = 1
时，由 + ，得 ，3 3 = 8 3 + 3 = 8
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所以 3
= 3
3 = 5
，
此时 (4)： 1(0,0)， 2( 1,1)， 3(3,5)， 4(6,2)，
2 = 1 3 2 = 3 2 1 = + 1③当 = 1时，由 + = 8 ，得
3 3
2 3 3 3 + 3 = 8
，
3 = 5所以 3 = 3
，
此时 (4)： 1(0,0)， 2(1, 1)， 3(5,3)， 4(6,2)，
2 = 2 3 2 = 3 2 3 2 = 3 + 2④当 = 2时，由2 3 + 3 = 8
，得 ，3 + 3 = 8
3 = 6所以 ，3 = 2
此时 2(2, 2)， 3(6,2)， 4(6,2)三点共线，不合题意，舍去，
2 = 2 3 2 = 3 2 3 + 2 = 3 2⑤当 2 = 2
时，由 ，得3 + 3 = 8 3 +
，
3 = 8

所以 3
= 2
3 = 6
，
此时 (4)： 1(0,0)， 2( 2,2)， 3(2,6)， 4(6,2)，
综上所述，符合条件的点列 (4)有 (4)： 1(0,0)， 2( 1,1)， 3(3,5)， 4(6,2)，
(4)： 1(0,0)， 2(1, 1)， 3(5,3)， 4(6,2)，
(4)： 1(0,0)， 2( 2,2)， 3(2,6)， 4(6,2)．
： 1(0,0)， 2(1, 1)， 3(5,3)， 4(6,2)；
： 1(0,0)， 2( 2,2)， 3(2,6)， 4(6,2)．
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