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2024-2025 学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据 4，2 ，3 ，5，6 的平均数为 4，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2 1.已知 = 1 ，则1 =( )
A. B. C. 1 D. 1
3.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { | 2 = }，则 ∩ =( )
A. { 1,2} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,0,1}
4 1.不等式 ≥ 2 的解集为( )
A. [ 1,0) B. [ 1, + ∞)
C. ( ∞, 1] D. ( ∞, 1] ∪ (0，+∞)
5.在△ 中，已知 = 2， = 2， = 3 + 1，则 =( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
6.设抛物线 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ⊥ ， 为垂足，如果直线 的斜率为 2，
则| | =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.在等差数列{ }中， 为其前 项的和，若 4 = 6， 8 = 20，则 16 =( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 108
8.已知 sin 2 =
10
10 ， 是第四象限角，则 sin( 4 ) =( )
A. 2 B. 2 C. 3 2 D. 7 210 10 10 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 为等比数列{ }的前项 和，
3 9
为{ }的公比( < 0)， 3 = 2， 3 = 2，则( )
A. = 12 B. 5 =
3
8 C. 5 =
31
8 D. 3 = 12
10.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 < 0 时， ( ) = (3 2) 2，则( )
A. (0) = 0 B.当 > 0 时， ( ) = ( 2 3) + 2
C. = 3 是 ( )极大值点 D. ( ) ≥ 2，当且仅当 ≥ 3
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11
2 2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别是 1， 2，左，右顶点分别为 1， 2，以 1 2
为直径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点( 为第一象限的交点)， 为坐标原点，则( )
A. 1 // 2 B. 2 ⊥ 1 2
C. ∠ 2 = 60°， 的离心率为 3 D.四边形 2 1的面积为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (2,3)， = ( 2,4)， = ( , 2)，若 ⊥ ( + )，则| | =______．
13.设函数 ( ) = 6 3 + 3( + 2) 2 + 2 ，若 ( )的两个极值点为 1， 2，且 1 2 = 1，则实数 的值为______．
14.一个底面半径为 4 ，高为 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，当
铁球的半径为 2.5 时， 的最小值为______ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + ) ( < < ， 2 2 )， (0) =
1
2．
(1)求 ；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( 6 )，求 ( )的值域和单调区间．
16.(本小题 15 分)
2 +
2
= 1( > > 0) 2已知椭圆 ： 2 2 的离心率为 2 ，短轴长为 2．
(1)求 的方程；
(2) 2过左焦点 1的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若△ 的面积为3，求| |．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，已知 = 3， = 2， = 1， ⊥底面 ，平面 ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若四棱锥的底面 为直角梯形，∠ = 90°， // ，求二面角 的正弦值．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 的零点为 ， ( ) = 1．
(1)证明： 是 ( )的零点；
(2)讨论方程 ( ) = 1( ∈ )的解的个数；
(3)已知 ( ) = + 2 存在唯一零点 ，比较 与 的大小．
19.(本小题 17 分)
为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为 的样本进行
调查，调查结果如下表：
关注度
性别 合计
关注 不关注
男生 0.5 0.2 0.7
女生 0.1 0.2 0.3
合计 0.6 0.4
(1)依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量 的最小值；
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局 2
名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得 3 分，失败者扣除 2
1
分；方案二：最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分.若每局甲获胜的概率为 ( 2 < < 1)，输的概率为 1 ，
每局比赛结果是相互独立的.请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大；
(3)经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关
1 1
注的学生中，有4会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有3会转为关注.初始比例关注航天事业的学生
3 4
比例为5，记第 年时，关注航天事业的学生比例为 ，证明：数列{ 7 }是等比数列．
附：
0.1 0.05 0.0025
2.706 3.841 5.024
2
2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + +
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.9
14.9
15.(1) 1由题意得 (0) = = 2，结合

2 < <

2，可得 = 6；
(2)由(1)得 ( ) = sin(2 + 6 )， ( 6 ) = sin[2( 6 ) + 6 ] = sin(2 6 )，

所以 ( ) = sin(2 + 6 ) + sin(2
) = 3 2 + 1 2 + 3 2 16 2 2 2 2 2 = 3 2 ，
根据 2 ∈ [ 1,1]，可得 ( )的值域为[ 3, 3]，
令 2 2 ≤ 2 ≤

2 + 2 , ∈

，解得 4 ≤ ≤ + 4 , ∈ ，
( ) 所以 的单调递增区间为[ 4 , + 4 ]， ∈ ，
2 + 3 3 令 2 ≤ 2 ≤ 2 + 2 , ∈ ，解得 + 4 ≤ ≤ + 4 , ∈ ，
所以 ( ) 3 的单调递减区间为[ + 4 , + 4 ]， ∈ ，
3
综上所述， ( )的单调递增区间为[ 4 , + 4 ]，单调递减区间为[ + 4 , + 4 ]， ∈ ．
2 2
16.解：(1) 已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为
2，短轴长为 2，
2
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2 = 2 + 2
则 = = 2 ， 2
2 = 2
= 2
解得 = 1 ，
= 1
2
所以 的方程为 2
2 + = 1；
(2)已知过左焦点 1的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，
因为 1( 1,0)，设直线 的方程为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
1又 △ = 2 | 1| |
2
1 2| = 3，
所以| 1 2| =
4
3，
= 1
所以 2 2 2 = 2，整理得(
2 + 2) 2 2 1 = 0，
可得 = ( 2 )2 + 4( 2 + 2) = 8 > 0，
2 1 + 2 =
则
2+2，
11 2 = 2+2
则| | = ( 2 )2 + 4 = 2 2
2+2 4
1 2 ， 2+2 2+2 2+2 = 3
即 2 = 1，
即| | = 1 + 2| 1 2| =
4 2．
3
17.(1)证明：过 作 ⊥ 交 于 ，
由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，得 ⊥面
又 平面 ，故 AE⊥ ，
由 ⊥底面 ， 底面 ，故 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
故 CD⊥平面 ；
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(2)因为 ⊥底面 ， ， 底面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又∠ = 90°，即 ⊥ ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系 ， (0,0,0)，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 // ，所以∠ = ∠ ，
所以△ ∽△ ，
1
所以 3 = ，所以 = 3， = 2，
则 ( 2, 0,0)， ( 2, 1,0)， (0,3,0)， (0,0,2)，
所以 = ( 2, 2,0), ( 2, 1, 2)， = ( 2, 0,2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = 2 + 2 = 0则 ，则
⊥
，
= 2 + 2 = 0
⊥ = 2 + 2 = 0则 ，则 ， ⊥ = 2 + 2 = 0
取 = 1， = 3，则 = ( 2, 0,1)， = (2 2, 2,3)，
所以 cos < , >=
2×2 2+0×2+1×3 = 7 7
2 3× 21
= 3 ，
2 +12× (2 2)2+22+32
所以 sin < , >= 2，3
所以二面角 的正弦值为 2．
3
18.(1)证明： ( ) = + 的定义域为(0, + ∞)，
又 ( ) = + 的零点为 ，
∴ + = 0 = = = 1，又 ( ) = 1，
∴ ( ) = 1 = 0，
∴ 是 ( ) = 1 的零点
(2)由 ( ) = 1 = 1，∴ = + ，
令 ( ) = + ，∴ ′( ) = ( + 2) ，
令 ′( ) = 0，∴ = 2，
由 ′( ) < 0 有 < 2， ′( ) > 0 有 > 2，
∴ ( )在( ∞, 2)单调递减，在( 2, + ∞)单调递增，
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∴ ( 2) = 2 2 + 2 = 2 = 1 2，
当 < 1 时， ( ) < 0，当 > 1 时， ( ) > 0，
当 → ∞时， ( ) → 0，
作出 ( )的图像：
∴ 1当 < 2时，解为 0 个；
当 = 1 2或 ≥ 0 时，解为 1 个；
当 1 2 < < 0 时，解为 2 个．
(3)由(1)知 = ， ( ) = + 2 在(0, + ∞)单调递增，
∴ ( ) = + 2 = 0 有唯一的解，
∵ ( ) (0, + ∞) 1 1在 单调递增， ( ) = 1 < 0， (1) = 1 > 0，
∴ ∈ ( 1 , 1)，
故 ( ) = + 2 = 2，
令 ( ) = 2，
∴ ′( ) = 1，
1 1
当 1 < < 1 时， ′( ) > ′( ) = 1 > 0，
∴ ( )在( 1 , 1)上单调递增，
∵ (1) = 3 < 0，
∴ ( ) < 0，
∴ ( ) < ( )，又 ( )在(0, + ∞)单调递增，
∴ > ．
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19.(1) 2 = (0.5 ×0.2 0.1 ×0.2 )
2 8
0.6 ×0.4 ×0.7 ×0.3 = 63，
8
因此63 > 3.841，因此 > 30.25，
由于 为 10 的整数倍，因此样本容量 的最小值为 40；
(2)甲赢得比赛的概率为 2 + 2 2(1 ) = 3 2 2 3，
方案一的分布列为：
3 2
3 2 2 3 1 3 2 + 2 3
方案二的分布列为：
1 0
3 2 2 3 1 3 2 + 2 3
因此 ( ) = 15 2 10 3 2； ( ) = 3 2 2 3，
因此 ( ) ( ) = 12 2 8 3 2( 12 < < 1)，
因此( ( ) ( ))′ = 24 (1 ) > 0，
因此 ( ) ( )单调递增，
因为 = 12时因此 ( ) ( ) = 0，因此 ( ) > ( )，
因此选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大；
(3) 3 3 1证明： 1 = 5， = 4 1 + 3 (1 1)，

4
因此 74 =
5
，且 4 1 4
1 1 12 7
= 35 ≠ 0，因此{ 7 }为等比数列．
7
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