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2024-2025学年青海省海南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.某工厂生产，两种型号的零件共件，其中型号的零件件质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取件进行质检，则型号的零件被抽到的数量是( )
A. B. C. D.
3.已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
4.如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.某校学生会随机抽查了本校名学生的身高单位：，将得到的数据按，，，分为组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这名学生中身高低于的人数为( )
A. B. C. D.
6.在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时千米的速度沿着西北方向前进，小时后，队员甲、乙之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
7.从这个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于的概率为( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. 的实部是 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11.已知非等腰三角形的内角分别为，，，若，则下列结论可能正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.已知，为互斥事件，且，，则 ______．
14.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为厘米，下底面圆的半径为厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切不考虑巧克力圆台容器的厚度，则该球形创意冰激凌的体积是______立方厘米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润甲分别随机抽测了产地和产地各个玉菇甜瓜的重量单位：，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据产地：
第二组数据产地：
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第百分位数和第二组数据的中位数相等．
求，；
请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点．
证明：平面．
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，在多面体中，，，，平面平面．
证明：平面．
已知，平面平面，是线段的中点．
证明：四边形为矩形．
求多面体的体积．
18.本小题分
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜局，此人最终获胜，比赛结束；局比赛后，没人累计获胜局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立．
求比赛局结束的概率；
求甲最终获胜的概率．
19.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别是，，，向量，，且．
求；
若，，求面积的最大值；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.已知第一组数据产地： ，
第二组数据产地： ，
由题意得，得．
因为，所以第一组数据的第百分位数为，
又第二组数据的中位数为，
所以，得；
第一组数据的平均数为，
方差为，
第二组数据的平均数为，
方差为，
因为，所以估计产地的玉菇甜瓜重量更稳定．
16.解：证明：在长方体中，连接，
因为，分别是棱，的中点，
所以，，
由长方体的性质，可知，，
则且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，且平面，
所以平面．
取棱的中点，连接，，平面平面，此时．
理由如下：
连接，因为，分别为棱，的中点，所以，
因为，分别为棱，的中点，
所以，所以，
因为平面且平面，
所以平面，
由可知平面，且平面，平面，，
所以平面平面，
故在棱上存在点，使得平面平面，此时．
17.证明：因为，
因此，因此．
因为平面平面，且平面平面，平面，
因此平面．
因为平面，因此．
因为，
平面，平面，且，
因此平面．
证明：因为，且为线段的中点，因此．
因为平面平面，且平面平面，平面，
因此平面．
因此，
由可知平面，则，，
因为，，且，因此．
因为，因此四边形是矩形．
因为，且为线段的中点，因此，
由知，
因为平面，平面，且，
因此平面，
由知，
因为，，因此．
则四棱锥的体积．
故多面体的体积．
18.根据题意，设“比赛局结束”，
比赛局结束的情况有以下两种：
第一种情况，甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第二种情况，乙获胜，即前局比赛中乙获胜局，且第局比赛乙获胜，其概率为．
故；
根据题意，设“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜局，比赛结束，其概率为；
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
甲获胜局，其他局平局，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，乙获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，
其概率为，
故甲最终获胜的概率．
19.由已知可得，
由正弦定理可得：，
所以，所以，
因为，所以；
由已知可得，
所以，即，
所以，
因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，即面积的最大值为，
由正弦定理可得，
则，
故，
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
则，即的取值范围为．
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