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2024-2025学年安徽省阜阳市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.对于随机事件，下列说法错误的是( )
A. 如果事件与事件互为对立事件，那么
B. 如果事件与事件满足，那么
C. 如果，是一个随机试验中的两个事件，那么
D. 对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立
5.已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.已知且，函数若对任意的，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和观察下列两个图表，则下列说法错误的是( )
A. 至年第一产业增加值逐年下降
B. 至年第二产业增加值逐年升高
C. 至年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高
D. 至年全省地区生产总值逐年增长
8.定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的最小值为
10.一块长方体形木料如图所示，，，点为对角线的中点，过点将木料锯开，使得截面过，则( )
A.
B. 截面的面积为
C. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱
D. 以点为球心，为半径的球面与截面的交线长为
11.三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线零线电压为，三根相线火线电压分别为，，，其中单位：，单位：三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，则下列说法正确的是( )
A. 三根相线电压的频率均为单位：
B.
C. 当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值
D. 线电压的有效值单位：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某跳水运动员的次训练成绩分别为，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是______．
13.已知甲：，乙：，若甲是乙的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．
14.在等腰梯形中，已知，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断在区间上的单调性，并证明你的判断；
设函数，若在区间上的值域为，在区间上的值域为，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知的面积为，内角，，的对边分别为，，．
从，两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题．
求角的大小；
延长至点，延长至点，连接，若，，证明：．
17.本小题分
如图所示，在平行四边形中，，垂足为，，将沿折到的位置，如图所示．
若平面平面，判断直线与平面的位置关系，并给出证明；
当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
18.本小题分
某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值代替．
按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在内的概率．
已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为，已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率．
19.本小题分
对定义域分别是，的函数，，规定：函数
若，，写出的解析式；
若，，求的值域；
若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明．
参考答案
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15.函数在区间上的单调递增，证明如下：
任取，则，
，
所以，即，
所以函数在区间上的单调递增．
由可知在区间上的值域为，
因为函数单调递减，
所以在区间上的值域为，
因为，所以．
所以满足题意的实数的取值范围为．
16.解：选，由，得，
则，
所以，即，
由，得．
选，由得，，
则，所以．
证明：设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因此，所以．
17.平面证明如下：
由题可得，
因为平面，平面，
所以平面，因为平面，平面平面，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
因为，，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
故，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作交于点，
则因为平面，平面平面，
所以平面，
且，
所以四棱锥的体积为．
18.由题意得，解得，
平均成绩为：，
估计高一年级初赛的平均成绩为分；
和两组的频率之比为：：，
故抽取的名学生，从内抽取了名学生，设为，，
从内抽取了名学生，设为，，，
已抽取的名学生中随机抽取名，
分别为，，，，，，，，，共有种情况，
其中至少有名学生的成绩在内的情况为：
，，，，，，共有种情况，
故至少有名学生的成绩在内的概率为；
甲通过决赛的概率为，
乙通过决赛的概率为，
故甲、乙能同时通过决赛的概率为．
19.定义域分别是，的函数，，
函数
又，，
则，，
当，时，，
当，时，，
所以．
由条件知，，，
则，
当时，，当且仅当时恨等号；
当时，，当且仅当时取等号，
所以函数的值域为．
令，取，证明如下：
，而，
则，
所以，取．
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