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2024-2025学年湖南省永州一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.若全集，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.若向量满足，且，则的夹角为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. B. C. D.
8.已知，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是( )
A. B. 是偶函数
C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数
10.已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则( )
A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为的函数
C. D.
11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，
其“直径”为，则( )
A. B. 面积的最大值为
C. 当时， D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为奇函数，则实数的值是______．
13.已知数列满足，则数列前项和为______．
14.若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列．
若，求满足条件的最大整数．
16.本小题分
已知函数．
若在处的切线斜率为，求；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，．
证明：；
若，为的中点，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点且斜率不为的直线与椭圆相交于、两点，直线与的交点为．
若直线的倾斜角为，求线段的长度；
试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
19.本小题分
最强大脑“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．
擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，求该擂主连胜三局的概率．
若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．
若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：．
参考答案
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15.证明：由，得，
则，又，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，
，
则
．
由，得，
即，
为单调增函数，满足的最大正整数为．
即满足条件的最大整数．
16.解：，则，所以；
恒成立，
因为，等价于恒成立，
令，则，
令，，在上是增函数，
由于，，，，即，
当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，，
所以，
所以，即的取值范围是．
17.解：证明：连接，过作于，
平面，平面，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，；
由知平面，平面，，
，，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，
，，
与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ由题意可得四边形的面积，
因为右焦点，
所以，
又，
解得，，
所以椭圆的方程为；
Ⅱ由题意可得，，
设，，则，
若直线的倾斜角为，直线的方程为，
联立，得，
所以，，
所以；
设，，则，直线的方程为，
联立，得，
所以，，
设直线，的斜率分别为，，，，
所以，
所以，
，
所以当时，的最大值为，
所以的最大值为．
19.由相互独立事件同时发生的概率知，所求的概率为；
因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，
由题意得的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的期望为：
，
由，得，当且仅当取等号，则，
因此，
所以的最大值为；
证明：设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，
其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，
事件，表示“甲、乙各得分”，当甲、乙得分总数相同时，
甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以
，
因此，得，而，
所以．
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