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2024-2025学年甘肃省白银市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.文若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，且该三棱柱的个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
6.把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程没有实数根的概率为( )
A. B. C. D.
7.美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家级旅游景区千岛湖有三座岛屿，，，旅游公司准备在岛屿上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量如图，在岛屿的底部测得岛屿的顶部处的仰角为，并测得岛屿在岛屿的北偏西方向上，另外测得岛屿在岛屿的北偏东方向上，岛屿在的正东方向处，且三座岛屿，，在同一水平面上，则岛屿的高度为( )
A. B. C. D.
8.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是，侧棱长是，为的中点，是侧面上一点，且平面，则点的轨迹长为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. B. C. D.
10.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若向量与的夹角为，则
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数为奇函数
11.已知一个古典概型的样本空间和其随机事件和随机事件，其中，，，，则( )
A. B.
C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是独立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______．
13.在正四棱柱中，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
14.如图所示，在梯形中，，，，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求复数；
若，求实数，的值．
16.本小题分
已知向量，，在同一平面内，且，．
若，且与共线，求向量的坐标；
若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？
17.本小题分
读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情某中学为了解本校学生课外阅读的情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为的样本，其中男生名，女生名经调查统计，分别得到名男生一周课外阅读时间单位：小时的频数分布表和名女生一周课外阅读时间单位：小时的频率分布直方图．
小时 频数
由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；注：以各组的区间中点值代表该组的各个值
从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例抽取人，再从这人中任意抽取人，求恰好抽到一男一女的概率．
18.本小题分
如图，已知在正方体中，，分别为对角线，上的点，．
求证：平面．
若是上的点，当的值为多少时用表示，能使平面平面？请给出证明．
19.本小题分
如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形点、在半径上，点在半径上．
求弧的长．
记，当取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.．
，则，解得．
16.根据与共线，设，
由，可得，解得．
当时，，当时，，
所以或；
由题意得，
，
因为向量与向量共线，
所以，解得，
此时，可知与反向．
17.由频数分布表估计男生一周课外阅读时间的平均数为：
，
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数为：
．
所以估计总样本的平均数．
由频数分布表，频率分布直方图知，
一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，
若按比例抽取人，则男生有人，记为，，，，
女生有人，记为，，，，，，，，
从这人中抽取人，样本空间
，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，共有个样本点．
记事件为“恰好一男一女”，则事件
，，，，，，，
，，，，，，，共个样本点，
故所求概率．
18.证明：如图，在正方体中，连接并延长，与的延长线交于点，
则平面和平面的交线为
因为四边形为正方形，所以，
故∽，
所以．
又因为，
所以，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
又平面平面，
故平面．
当的值为时，能使平面平面．
证明：如图，因为，
即，
又，所以．
因为平面，平面，
所以平面，
又，平面，，平面，
所以平面平面．
19.由题意得扇形的面积为，
解得，所以弧的长等于；
在中，，，
在中，，
所以，．
矩形的面积
．
由，得，所以当，即时，．
综上所述，当时，矩形的面积最大，最大面积为．
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