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2024-2025学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.函数的零点所在的一个区间为( )
A. B. C. D.
5.函数在上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.若函数的图象关于点对称，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等关系成立的有( )
A. B. C. D.
10.若函数在处取得极大值，则( )
A. B.
C. 为的一个增区间 D. 的极小值为
11.定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有( )
A. 当时，
B. 的图象在处的切线方程为
C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为
D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______．
13.若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______．
14.已知正实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若对任意的，都有，求实数的取值范围．
16.本小题分
定义在上的函数满足，，且时，．
判断并证明的奇偶性；
求关于的不等式的解集．
17.本小题分
如图，某地计划在海中建设一风力发电站，其离岸距离，与垂直的海岸线上有一升压站，且现要铺设一条电缆将站的电力传输到站，点为海岸线上一点，线段，分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线假设海中铺设电缆的费用为万元千米为给定正数，海岸线上铺设电缆的费用为万元千米，的长度为千米．
求铺设电缆总费用关于的函数关系式；
当的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线切线斜率的最小值；
若有两个不同的极值点，．
求的取值范围；
求证：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设，且与有相同的最小值．
求的值；
已知，，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.令，解得或，
即函数的定义域为，
令，
在其定义域内为增函数，
的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以单调递减区间为，单调递增区间为；
由题意，
由知，当时，单调递增，
所以，
于是，
即，解得，
故的取值范围为．
16.令，可得，所以，
令，可得，所以，
又的定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
任取，，且，则，
于是，
因为，所以，由题意，
又为奇函数，所以，
所以，即，在上单调递减，
因为为奇函数，所以在单调递减，
所以在上单调递减，
由，可知，
所以不等式，
等价于，
所以，解得，
所以，原不等式的解集为．
17.由题意知，，，
所以，其中．
求导数，得，
令，解得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值．此时．
所以当的长度为公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元．
18.当时，．
令，则，
令，解得．
当时，，单减；当时，，单增．
所以，当时，取得极小值也是最小值，
所以，曲线切线斜率的最小值为．
，则，
若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点，
令．
当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去，
当时，当时，，单增，当，
时，，单减．所以，当时，取极大值，
令，则，所以时，，单减，
当时，单增，所以存在极小值也是最小值．
所以，对，恒有的极大值，
当时，，的图象在连续不断，由零点存在定理，存在，使得．
当时，，同理，存在，使得．
所以，对，在上存在两个不同的变号零点．
综上，的取值范围为．
证明：不妨设，是的两个零点，且，
则，，
两式相减得：，
两式相加得：，
于是要证，只需证，只需证，
即证，即证，
事实上，令，，，
所以，所以不等式成立，所以原不等式成立．
19.依题意，
当时，，在上单调递增；
当时，令得，，即；
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，当时，时，单调递减，时，单调递增；
由知，当时，时取得最小值．
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时取得极小值即最小值，
由题意可知，，即，
令，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以取得最小值，
所以在上恒成立，所以在上单增，
又，所以；
证明：因为，所以，
即．
令，则，
可知在时取得最大值，所以，即，
所以，当且仅当时，“”成立．
令，则，当时，，单调递减．
所以，当时，，由，得．
当时，显然，
综上，，即．
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