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2024-2025学年湖南省长沙市望城六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.坐标平面内点的坐标为，则点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.自然数的位数为参考数据：( )
A. B. C. D.
6.设，为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.定义域为的函数满足，则不等式的解为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮次统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为，，，，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是( )
A. 平均数为，极差是 B. 中位数是，极差是
C. 平均数为，方差是 D. 中位数是，方差是
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的值域为
D. 的图象关于直线对称
11.函数，关于的方程，则下列正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 函数的单调减区间为，
C. 当时，则方程有个不相等的实数根
D. 若方程有个不相等的实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的零点在区间，内，则 ______．
13.在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则________．
14.非零向量，的夹角为，且满足，向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若，，与的夹角为．
求；
当为何值时，向量与向量互相垂直？
16.本小题分
求值：
；
．
17.本小题分
已知函数，且的部分图象如图示．
求的解析式；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
求点的坐标；
过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求为坐标原点面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若，且函数只有一个零点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知可得，，，，
所以，
所以；
由已知可得，
即，
所以有，解得．
16.解：原式
；
原式
．
17.解：根据题意，函数的图象经过点和，
则有，解可得，
则，
根据题意，由的结论，不等式，即，
变形可得，
设，，
易得在上为增函数，则有，即在区间上的最小值为，
若不等式在上有解，必有，
故的取值范围为．
18.因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
因为边上的中线经过点，即为直线与边中线的交点，
联立，解得，，
所以点的坐标为．
依题意可设直线的方程为，则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为．
19.解：Ⅰ由题意可知，．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ解法一：由题意可知，且．
令
则．
记，
当时，，，与相矛盾，此时式无解；
当时，无解；
当时，式的解为，此时有唯一解；
当时，，
，
所以式只有一个负根，有唯一解，故的最小值为．
解法二：由题得，
令，则．
再令，则．
记，
函数和函数的图象如图所示：

当，即时，显然不成立；
当，即时，由，得方程存在唯一解，且．
此时亦存在唯一解．
综上，的最小值为．
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