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2024-2025 学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = { |3 2 7 10 > 0}， = { |2 2 3 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. { |1 < ≤ 3 32 } B. { | 1 < ≤ 2 }
C. { | 32 ≤ <
10
3 } D.
2 2 1.命题： > 0，使 +1 ≥ 1 的否定为( )
A. ≤ 0 2 1，不等式 +1 < 1 恒成立
B. ≤ 0 2 1，不等式 +1 < 1 成立
C. > 0 2 1， +1 < 1 恒成立或 = 1
D. > 0 2 1，不等式 +1 < 1 恒成立
3.已知函数 = 2 + 3( > 0 且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，点 在幂函数 = ( )的图象上，则 ( 13 ) =( )
A. 19 B. 9 C.
3
3 D. 3
4.定义运算 如下： = ( 1), < 02 , ≥ 0 ，设函数 ( ) = ( + 1)，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
5.若不等式( 2)( ) ≥ 0 对任意的 ∈ 恒成立，则 + 2 的最小值为( )
A. 3 B. 2 2 C. 4 D. 3 2
6.设函数 ( ) = lg( 2 + 1)，则使得 (2 1) > ( + 1)成立的 的取值范围为( )
A. (0,2) B. (0,2]
C. ( ∞,2) D. ( ∞,0) ∪ (2, + ∞)
7.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 3 2 + 2，则
( 143 ) =( )
A. 10 B. 10 2 23 3 C. 3 D. 3
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8.已知函数 ( ) =
, > 1
(2 1) + 3 , ≤ 1在 上为减函数，则实数 的取值范围是( )
A. (0, 12 ) B. (0,
1
5 ] C. [
1
5 , + ∞) D. [
1
5 ,
1
2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数 ， 满足 + = 4，则下列选项正确的是( )
A. + 的最小值为 2 2 B. + 的最大值为 4
C. 2 + 2的最小值为 8 D. ( + 4)的最大值为 16
10.已知函数 ( ) = 1(2 ) 2( + 4)，则下列结论中错误的是( )
2
A. ( )的定义域是[ 4,2] B.函数 = ( 1)是偶函数
C. ( )在区间[ 1,2)上是减函数 D. ( )的图象关于直线 = 1 对称
2
11.已知函数 ( ) = 4 , ≤ 0| |, > 0 ，若 1 < 2 < 3 < 4，且 ( 1) = ( 2) = ( 3) = ( 4)，则下列结2
论正确的是( )
A. 1 + 2 = 4 B. 3 4 = 1 C. 1 < 4 < 16 D. 0 < 1 2 3 4 ≤ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ (1,3)， ∈ (2,3)，则 2 的取值范围是______．
13.已知 ： 3 ≤ ≤ 1， ： ≤ ( 为实数).若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是______．
14.函数 ( ) = log2 · 2(2 )的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知关于 的不等式 2 1 > ( 2 1)．
(1)是否存在实数 ，使不等式对任意 ∈ 恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于 ∈ (1, + ∞)恒成立，求 的取值范围；
(3)若不等式对于 ∈ [ 2,2]恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 1) 是幂函数，定义域为 ．
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(1)求 的值．
(2) ( ) = 2 ( ) + 2若 ( )+1，求 ( )的值域．
18.(本小题 17 分)
已知定义域为 函数 ( ) = ( 1) ( > 0 且 ≠ 1)是奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若 (1) < 0，判断函数 ( )的单调性，若 ( 2 2) + ( ) > 0，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 2 2 ， ( ) = log2 .
(1)当 ∈ [1,4]时，求函数 ( ) = [ ( ) + 1] ( )的值域；
(2)如果对任意的 ∈ [1,4]，不等式 ( 2) ( ) > ( )恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 5, 1)
13.[1, + ∞)
14. 14
15.解：(1)集合 = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}， ∩ = ，
∴当 = 时， + 1 > 2 1，解得 < 2；
≠ + 1 ≤ 2 1 + 1 ≤ 2 1当 时， 2 1 < 2 或 + 1 > 5 ，
解得 > 4，
∴实数 的取值范围是( ∞,2) ∪ (4, + ∞)；
(2) ∵ ∪ = ，∴ ，
当 = 时， + 1 > 2 1，解得 < 2；
+ 1 ≤ 2 1
当 ≠ 时， + 1 ≥ 2 ，解得 2 ≤ ≤ 3．
2 1 ≤ 5
综上，实数 的取值范围是( ∞,3]．
16.(1)假设存在实数 ，使不等式对任意 ∈ 恒成立．
原不等式等价于 2 2 + (1 ) < 0，
当 = 0 时， 2 + 1 < 0 不恒成立，
当 ≠ 0 时，不等式对于 ∈ 恒成立，
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则需 < 0 且 4 4 (1 ) < 0，无解，
所以不存在实数对任意 ∈ 恒成立．
(2)若不等式 2 1 > ( 2 1)对于 ∈ (1, + ∞)恒成立，
因为 > 1， 2 1 > 0，
所以 < 2 1 2 1，
设 2 1 = ( > 1)，即 = +12 ，
2
则 2 1 = +2 34 ，
4 4
所以 < 2+2 3 = ， 3 +2
设 ( ) = 3 + 2, ∈ (1, + ∞)，
显然 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
可得 ( ) > (1) = 1 3 + 2 = 0，
所以 ≤ 0，所以 的取值范围是( ∞,0]．
(3)设 ( ) = ( 2 1) (2 1)，
当 ∈ [ 2,2]时， ( ) < 0 恒成立，
(2) < 0
当且仅当 ，即 2
2 2 1 < 0
( 2) < 0 ， 2 2 2 + 3 < 0
1 3 < < 1+ 3 1 3 < < 1+ 3
解得 2 2 或 2 2 ，
< 1 7 > 1+ 72 2
所以 ( 1+ 7的取值范围是 2 ,
1+ 3
2 )．
17.(1)由题意知， 2 1 = 1，即 2 2 = 0，解得 = 2 或 = 1，
若 = 2， ( ) = 2，其定义域为 ，符合题意；
若 = 1， ( ) = 1 = 1 ，其定义域为{ | ≠ 0}，不符合题意；
综上， = 2， ( ) = 2．
(2)由(1)知， ( ) = 2，则 ( ) = 2 2 + 2 2+1，
令 = 2 + 1 ≥ 1，则 2 = 1，
2 1 1
可得 = 2( 1) + = 2( + ) 2 ≥ 4 2 = 2，
1
当且仅当 = ，即 = 1， = 0 时等号成立，
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所以 ( )的值域为[2, + ∞)．
18.解：(1)由函数 ( ) = ( 1) 的定义域为 的奇函数，
可得 (0) = 0 ( 1) 0 = 1 ( 1) = 0，解得 = 2，
经验证：当 = 2 时， ( ) = ，可得 ( ) = = ( ) = ( )，
则 ( )为奇函数，符合题意，
所以 = 2．
(2)由(1)知， ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)，
因为 (1) < 0 1，即 < 0，
又因为 > 0，且 ≠ 1，所以 0 < < 1，
而 = 在 上单调递减， = 在 上单调递减，
故由单调性的性质可判断 ( ) = 在 上单调递减，
不等式 ( 2 2) + ( ) > 0 可化为 ( 2 2) > ( )，
可得 2 2 < ，即 2 + 2 < 0，解得 2 < < 1，
所以实数 的取值范围是( 2,1)．
19.解：(1) ( ) = (4 2 2 ) 22 = 2( 2 1) + 2，
因为 ∈ [1,4]，所以log2 ∈ [0,2]，
故函数 ( )的值域为[0,2]，
(2)由 ( 2) ( ) > ( )得(3 4 2 )(3 log2 ) > log2
令 = log2 ，因为 ∈ [1,4]，所以 = log2 ∈ [0,2]，
所以(3 4 )(3 ) > 对一切的 ∈ [0,2]恒成立，
1°当 = 0 时， ∈ ；
2°当 ∈ (0,2]时， < (3 4 )(3 ) 9 恒成立，即 < 4 + 15，
4 + 9 ≥ 12 9 3因为 ，当且仅当 4 = ，即 = 2时取等号，
所以 4 + 9 15 的最小值为 3，
综上， ∈ ( ∞, 3)．
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