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2024-2025 学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 (1 + ) = 2，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 1 + D. 2
2.已知集合 = { | 2 < < 4, ∈ }， = { |1 ≤ 3 ≤ 9}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1,2} B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3}
3.贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地
正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、
梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考
结束后从上面 6 个景点中选择 3 个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，
则不同的选择方案有( )
A. 20 种 B. 18 种 C. 16 种 D. 14 种
4.已知函数 ( ) = ′(1) ，则 ′(1)的值为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
5
2
+
2
.已知椭圆 ： 2 2 = 1( > > 0)的上顶点为 ， 1， 2分别为椭圆 的左、右焦点，若△ 1 2的面积
为 3 1，且椭圆 的离心率为2，则椭圆 的标准方程为( )
2 2
A. + = 1 B.
2 2 2 2 2 2
3 4 8 +

6 = 1 C.
+ 4 3 = 1 D.

6 +

8 = 1
6.网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售
额如下表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号 1 2 3 4 5
销售额 (万元) 51 63 75 87 99

若 关于 的线性回归方程为 = 12 + ，则根据回归方程预测该店 2026 年“五一”黄金周的销售额是( )
A. 84 万元 B. 98 万元 C. 104 万元 D. 111 万元
7.已知等比数列{ }，若 22， 6为方程 + 10 + 12 = 0 的两根，则 4的值为( )
A. 2 3 B. ±2 3 C. 5 D. 6
8.已知 为坐标原点，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，若抛物线 上一点(4, )到其准线的距离为 5，
过点 且斜率为 2 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则△ 的面积为( )
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A. 2 5 B. 5 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 ～ (1, 2)， ( ≥ 0) = 0.8，则 (0 ≤ ≤ 2) = 0.6
B.若两个变量线性相关，则相关系数 越大，线性相关程度越强
2 C. 2若随机变量 的分布列为 ( = ) = 2 4
2
( = 0,1,2)，则 ( ) =
6 3
D. 1若随机变量 ～ (10, 3 )，随机变量 = 3 + 2，则 ( ) = 20
10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. = 6 B. =

12是函数 ( )的一条对称轴
C. = 2 D.函数 ( ) ( 7 , 4 在区间 12 3 )上单调递增
11 1.已知函数 ( ) = 3
3 + 2 + 1( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.当 ≠ 0 时， = 0 为 ( )的极值点
B.存在 ，使得 ( )在(0, + ∞)有且仅有一个零点
C.当 = 0 时，过点(0,0)存在两条直线与曲线 = ( )相切
D.存在 ，使得 ( 1 2 3 4049 40492025 ) + ( 2025 ) + ( 2025 ) + … + ( 2025 ) = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( 1. 2 2)
6的展开式中 3的系数是______. (用数字作答)
13.2024 年开始，贵州省实行新高考“3 + 1 + 2”选科模式，它是指考生需要参加三门全国统一高考科目，
即语文、数学、外语.此外，考生还需在物理和历史两门科目中选择一门作为首选科目，以及在思想政治、
地理、化学、生物学四门科目中选择两门作为再选科目；赋予了学生充分的自由选择权.已知黔南州某三所
中学分别有 75%，60%，60%的学生选了物理，这三所中学的学生人数之比为 3：2：1，现从这三所中学
随机选取一名学生，则这名学生选了物理的概率为______．
14.已知函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)， ( ) = ( > 0)，若函数 ( )与 ( )的图象有两个不同的交点，
则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + 3 ， ∈ ．
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(1)求数列{ }的通项公式 ；
(2) { 4求数列 }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 2 2， 为棱 1的中点．
(1)证明： ⊥平面 1 ；
(2)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分.在这个节日中，粽子备受喜爱.粽子是
用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵.由于地域饮食文化差异，南方与北方居民
对粽子口味偏好(甜粽/咸粽)存在显著差异.为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽
样的方法，从全国代表性的城市选取居民 300 人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好(甜粽/咸
粽)，并记录其居住地域(南方/北方).将调查数据整理如下表：
甜粽咸粽合计
南方居民 90 120
北方居民 120
合计 150 300
(1)完成 2 × 2 列联表，并根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，分析“居民地域(南方/北方)”与“粽子
口味偏好(甜粽/咸粽)”是否有关；
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取 3 人，记 为其中偏
好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求 的分布列、数学期望和方差．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
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0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 = 3 ，实轴长为 4．
(1)求双曲线 的标准方程．
(2)若直线 ： = + 与双曲线 交于不同的两点 ， (点 ， 均在第一象限，且点 在点 上方)，直线
与直线 = 交于点 ， 为坐标原点，且∠ = ∠ ，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2．
( )判断 1 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
( )若 = 1，求 的值．
19.(本小题 17 分)
物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在
轴找初始点( 1, 0)，然后作 = ( )在点( 1, ( 1))处的切线，切线与 轴交于点( 2, 0)，再作 = ( )在点
( 2, ( 2))处的切线，切线与 轴交于点( 3, 0)，再作 = ( )在点( 3, ( 3))处的切线，以此类推，直到求
得满足精度的方程 ( ) = 0 的近似解 ( ≥ 2)为止.已知函数 ( ) = 2，在横坐标为 1的点处作
( )的切线，切线与 轴交点的横坐标为 2，继续牛顿法的操作得到 ．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)设初始点为(2,0)，按上述算法，求方程 2 = 0 的一个近似根 2；(精确到 0.01)
(3)若对任意 ∈ (1, + ∞)， +1 > 恒成立，求整数 的最大值．
(参考值： 2 ≈ 0.693)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 20
13.2740
14.(1, ) ∪ ( , + ∞)
15.(1)已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + 3 ， ∈ ，
当 = 1 时， 1 = 1 = 12 + 3 × 1 = 4；
当 ≥ 2 时， = = 2 1 + 3 ( 1)2 3( 1) = 2 + 2，
验证，当 = 1 时， 1 = 4 = 1，符合，
综上，数列{ }的通项公式为 = 2 + 2．
(2) = 4 1 1 1令 = +1 ( +1)( +2)
= +1 +2，
= 1 1 + 1 1 + . . . + 1 1 1 1 则 2 3 3 4 +1 +2 = 2 +2 = 2 +4．
16.(1)证明：如图，以点 为坐标原点，以 ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐
标系．
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则 (0,0,0)， (0,2, 2)， 1(0,0,2 2)， (2,2,0)， (0,2,0)， 1(0,2,2 2)， (2,0,0)，
= (0,2, 2)， 1 = (0,2, 2 2)， = ( 2,0,0)．
因为 1 = 0 + 4 4 = 0， = 0 + 0 + 0 = 0，
所以 ⊥ 1 ， ⊥ ，
因为 1 ， 平面 1 ， 1 ∩ = ，
所以 ⊥平面 1 ．
(2)由(1)得 是平面 1 的一个法向量， 1 = ( 2,2,2 2)．
设直线 1与平面 1 所成的角为 ，
| 1则 = |cos < , > | = | = |4+4| 61 = ，| || 1| 4+2× 4+4+8 3
则直线 1与平面
6
1 所成角的正弦值为 ．3
17.(1)完成 2 × 2 列联表，如下：
甜粽咸粽合计
南方居民 90 30 120
北方居民 60 120 180
合计 150 150 300
零假设为 0：“居民地域(南方/北方)”与“粽子口味偏好(甜粽/咸粽)”无关，
300×(90×120 30×60)2
所以 2 = 120×180×150×150 = 50 > 10.828．
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，推断 0不成立，即认为“居民地域(南方/北方)”与“粽子口味偏
好(甜粽/咸粽)”有关．
(2) 90南方居民偏好甜粽的概率为120 =
3
4．
(3, 34 )， = 0，1，2，3，
( = 0) = ( 1 3 1 1 3 14 ) = 64， ( = 1) = 3 × ( 4 ) × (
1 )2 = 94 64，
( = 2) = 2 × ( 3 )2 × 1 = 27 ( = 3) = ( 3 )3 = 273 4 4 64， 4 64，
0 1 2 3
1 9 27 27
64 64 64 64
因此 ( ) = 3 × 3 = 94 4， ( ) = 3 ×
3 1 9
4 × 4 = 16．
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18.(1)因为双曲线 的一条渐近线方程为 = 3 ，实轴长为 4，

所以 = 3，2 = 4，
解得 = 2， = 2 3，
2 2
则双曲线 的标准方程为
4

12 = 1；
(2)( )设∠ = ∠ = ，
此时 1 = tan∠ = tan(

4 + )， 2 = tan∠ = tan(

4 )，

所以 1 2 = tan( 4 + ) tan(

4 ) =
1+ 1 1 tan 1+tan = 1，
则 1 2的定值为 1；
= 1
( )联立 2 2 ，消去 并整理得(3 2) 2 + 2 13 = 0．
4 12 = 1
此时 3 2 ≠ 0 且 > 0，
解得 13 13且2 < < 2 ≠± 3，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由韦达定理得 2 131 + 2 = 2 3 , 1 2 = 2 3，
12 2 3
所以 21 2 = ( 1 1)( 2 1) = 1 2 ( 1 + 2) + 1 = 2 ． 3
由( )得 1 2 = 1，
1 2
即 = 1，1 2
可得 1 2 = 1 2，
13 12 2= 3所以 2 ， 3 2 3
解得 =± 2 3．3
因为 ， 两点均在第一象限，
所以 > 0，
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则 = 2 3．3
综上所述，当 = 1 时， = 2 3．3
19.(1)函数 ( ) = 2 1 1的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 = ( > 0)，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1, + ∞)；
(2)设 ( )在点(2, (2))处的切线为 ： (2) = ′(2)( 2)，
= 0 = = 2 (2) = 2 2令 ，则 2 = 2 + 2 2， ′(2) 1
2
由 2 ≈ 0.693，则 2 = 2 + 2 × 0.693 ≈ 3.39，
所以方程 2 = 0 的一个近似根 2为 3.39；
(3) ( )在( , ( ))处切线方程为 ( ) = ′( )( )，
( )
令 = 0，得 +1 = =
2 = +
′( ) 1 1
， > 1，


不等式 > + +1 > ， 1
令 ( ) = + 2 1 ，则 ′( ) = ( 1)2 ，
由(1)知， (3) = 1 3 < 0， (4) = 2 4 = 2(1 2) > 0，
则存在 0 ∈ (3,4)，使得 0 0 2 = 0，即 0 = 0 2，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0，当 ∈ (1, 0)时， ′( ) < 0；
函数 ( )在( 0, + ∞)上单调递增，在(1, 0)上单调递减，
因此 ( ) = ( ) =
0 0+ 0 0( 0 2)+ 0
0 1 = 1 = 0， 0 ∈ (3,4)，0 0
则 < ( ) = ( 0) = 0 ∈ (3,4)，整数 的最大值为 3，
所以整数 的最大值为 3．
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