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1.2 空间向量基本定理
【课时目标】
掌握重难点 空间向量基本定理
突破易错点 四点共面的判断
【课堂巩固】
重难点1　基底满足的条件
1.若p:{a,b,c}为空间的一个基底,q:a,b,c是三个非零向量,则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
重难点2　用基底表示向量
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则= (　　)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.-a+b+c
D.-a-b+c
易错点　四点共面的判断
3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=5e1-e2-4e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.试判断P,A,B,C四点是否共面.
【课后必刷】
1.下列结论正确的是 (　　)
A.空间的基底有且只有三个
B.三个非零向量可构成空间的一个基底
C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等
D.任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
2.设e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,则下列向量组能作为空间的一个基底的是 (　　)
A.{e1-e3,e2+e3,e1+e2}
B.{e1+e3,e2-e3,e1+e2}
C.{e1-e2,e2-2e3,2e3-e1}
D.
3.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且2GN=5MG,现用向量,,表示向量.设=x+y+z,则2(x-y)-3z=　　　　 .
4.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是A'C'的中点,若='+x+y,则x+y=(　　)
A.
B.1
C.
D.2
5.[教材习题变式]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 (　　)
A.a-b+2c
B.a-b-2c
C.-a+b+c
D.a-b+c
6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点,点G在CD上,且CG=CD.求:
(1)·;
(2)·.
7.[高考导向衔接](多选题)点P是矩形ABCD所在平面外的一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,=,=,若=x+y+z,则 (　　)
A.x=-
B.y=
C.z=
D.x+y+z=-
8.如图,在三棱锥P-ABC中,点G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F.若=m,=n,=t,求证++为定值,并求出该定值.
9.某工厂生产一种直三棱柱形的零件,形状如图所示,已知∠ABC=120°,AB=20 cm,BC=CC1=10 cm,求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.
参考答案
1.A　解析:空间中不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若a,b,c是三个共面的非零向量,则{a,b,c}不能作为空间的一个基底.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c是三个非零向量,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
2.C　解析:=+=-+=b-a+c=-a+b+c.
3.解析:假设存在实数x,y,z使=x+y+z,即5e1-e2-4e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得
综上,满足x+y+z=1,故P,A,B,C四点共面.
1.D　解析:空间的基底有无数个,A项错误;三个非零向量若共面,则不能构成空间的一个基底,B项错误;基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量不一定对应相等,C项错误;任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底,D项正确.
2.D　解析:∵e1-e3=(e1+e2)-(e2+e3),∴e1-e3,e2+e3,e1+e2为共面向量,不能作为空间的一个基底.
∵(e1+e3)+(e2-e3)=e1+e2,∴e1+e3,e2-e3,e1+e2为共面向量,不能作为空间的一个基底.
∵(e1-e2)+(e2-2e3)=e1-2e3=-(2e3-e1),∴e1-e2,e2-2e3,2e3-e1为共面向量,不能作为空间的一个基底.D选项中的三个向量不共面,能作为空间的一个基底.
3.0　解析:∵2GN=5MG,
∴=+=+
=+(-)=+(+)
=++.
∴x=,y=,z=,∴2(x-y)-3z=2x-2y-3z=--=0.
4.B　解析:取基底', , ,
所以 = '+ = '+ = '+ (+ )= '+ + ,
所以x=y=,即x+y=1.故选B.
5.D　解析:=+=+=+(-)=a-b+c.
6.解析:设=a,=b,=c,{a,b,c}构成空间的一个基底,
且|a|=|b|=|c|=1,===.
(1)=-=-=(a+b-c),
=+=+=-(b+c),
∴·=-(a+b-c)·(b+c)=-(a·b+a·c+b2+b·c-c·b-c2)=0.
(2)=-=-=-a-c,
·=(a+b-c)·-(a+4c)=-(a2+4a·c+b·a+4b·c-a·c-4c2)=-(1-4)=.
7.ACD　解析:如图,取PC的中点E,连接NE,则
=-=-(-)=--=-=--(-++)=--+,故x=-,y=-,z=.
8.解析:连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略).
由题意,令{,,}为空间的一个基底,
==(+)=+×=+×=+(-)+(-)=++.
∵点D,E,F,M共面,
∴存在实数λ,μ,使得=λ+μ,
即-=λ(-)+μ(-),
∴=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt.
由空间向量基本定理知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,
∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值4.
9.解析:设=a,=b,=c,则|a|=20,|b|=|c|=10.
因为=c-a,=b+c,
a·b=|a|·|b|cos∠ABC=20×10×cos 120°=-100,a·c=b·c=0,
所以||=|c-a|=10,||=|b+c|=10,
·=(c-a)·(b+c)=b·c+c2-a·b-a·c=0+100-(-100)-0=200,
所以cos<,>===.
故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

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