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第一章 疑难考点突破专练
考点1　空间向量的概念及运算
1.已知向量a=(1,2,1),b=(-1,0,4),则2a-b= (　　)
A.(3,4,-2)
B.(1,4,6)
C.(1,0,-4)
D.(2,2,-3)
2.已知空间向量a=(λ+1,2,3μ-1),b=(6,2λ,0)共线,则实数λ的值是 (　　)
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2
3.点P(1,2,-3)关于平面xOz对称的点的坐标是 (　　)
A.(1,2,3)
B.(1,-2,-3)
C.(-1,2,-3)
D.(-1,-2,3)
4.定义ab=|a|2-a·b.若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则ab的取值范围是 (　　)
A.[0,6]
B.[6,12]
C.[0,6)
D.(-1,5)
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, =x +y +z ,则x+y+z= (　　)
A.3
B.2
C.
D.1
6.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),则a与b夹角的余弦值为　　　　　;若a⊥(a-λb),则λ=　　　　.
7.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
(1)a,b,c的坐标;
(2)a+c与b+c夹角的余弦值.
8.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),且=a,=b.
(1)求a和b的夹角θ;
(2)若向量ka+b与a-b互相垂直,求实数k的值.
考点2　空间向量的应用
9.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(-2,1,1),则 (　　)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l α或l∥α
D.l与α斜交
10.设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k= (　　)
A.2
B.-4
C.4
D.-2
11.若 =λ +μ ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 (　　)
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱垂直于底面,AB=4,AA1=6.若E是棱BB1的中点,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
13.已知两个不重合的平面α和平面ABC,若平面α的一个法向量为n1=(2,-3,1), =(1,0,-2), =(1,1,1),则平面α与平面ABC的位置关系是　　　　.
14.已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且点A(0,3,1)在平面α上,若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则向量=　　　　,点P的坐标满足的方程是　　　　　 .
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D.
(2)求AB1与BC1所成角的大小.
16.如图,在△AOB中,∠AOB=,∠BAO=,AB=4,D为线段AB的中点.△AOC是由△AOB绕直线AO旋转而成的,记二面角B-AO-C的大小为θ.
(1)当平面COD⊥平面AOB时,求θ的值;
(2)当θ=时,求CD的长;
(3)在(2)的条件下,求二面角B-OD-C为钝角时的余弦值.
参考答案
1.A　解析:2a-b=2(1,2,1)-(-1,0,4)=(3,4,-2).
2.C　解析:∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
∴
解得λ=-3或2.
3.B　解析:点P(1,2,-3)关于平面xOz对称的点,即x,z不变,y变为相反数,∴点P(1,2,-3)关于平面xOz对称的点的坐标是(1,-2,-3).
4.B　解析:由题意得|a|=3,|b|=1,设=θ,
则a b=|a|2-a·b =|a|2-|a||b|cos θ=9-3cos θ,
又θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],∴a b∈[6,12].
5.C　解析:因为 =+, =+, =+,
所以 =x +y +z =x(+)+y(+)+z(+)=(x+y) +(x+z) +(y+z).
又 =++,所以x+y=1,x+z=1,y+z=1,解得x=y=z=,
所以x+y+z=.
6.　2　解析:因为a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),所以cos===.由题意得a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,又a2=14,a·b=7,所以14-7λ=0,所以λ=2.
7.解析:(1)由题意知x≠0,y≠0.因为a∥b,
所以==,
解得x=2,y=-4,
则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,
解得z=2,所以c=(3,-2,2).
(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1).设a+c与b+c的夹角为θ,
则cos θ==-.
8.解析:由A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),=a,=b,可知a=(-2,-1,3),b=(1,-3,2).
(1)cos θ==,又θ∈[0,π],故θ=.
(2)∵ka+b=k(-2,-1,3)+(1,-3,2)=(-2k+1,-k-3,3k+2),
a-b=(-3,2,1),且ka+b与a-b垂直,
∴(-2k+1)·(-3)+(-k-3)·2+(3k+2)·1=0,解得k=1.
9.C　解析:因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1),所以a·n=1×(-2)+0×1+2×1=0,所以l α或l∥α.
10.C　解析:因为α∥β,所以 ==,所以k=4.
11.D　解析:因为 =λ +μ ,所以 , , 共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内.
12.A　解析:设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底.=+=a-c,=+=b+c,
cos<,>====-,
所以异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.
13.平行　解析:因为n1·=0,n1·=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.
14.(x,y-3,z-1)　x-y+2z+1=0　解析:∵平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),
点A(0,3,1)在平面α上,P(x,y,z)是平面α上任意一点,
∴向量=(x,y-3,z-1),n·=x-(y-3)+2z-2=0,
∴点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0.
15.解析:(1)
证明:如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
由题意知O为B1C的中点,D为AC的中点,
所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D,OD 平面BC1D,
所以AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),因此=(0,-2,2),=(2,0,2).
所以cos<,>===,
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cos θ=,故θ=.
16.解析:
(1)如图,在平面AOB内过B作BE⊥OD于E.
∵平面AOB⊥平面COD,平面AOB∩平面COD=OD,
∴BE⊥平面COD,∴BE⊥CO,
又∵CO⊥AO,且AO与BE相交,AO,BE 平面AOB,∴CO⊥平面AOB,∴CO⊥BO,
∵BO⊥AO,CO⊥AO,
∴二面角B-AO-C的平面角为∠BOC,即θ=.
(2)如图,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,OB,OA所在的直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
则D(0,1,),C(,-1,0),即CD==.
(3)在(2)所建立的空间直角坐标系中,可设n1=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,
由得取z=1,则n1=(-1,-,1),
又平面AOB的一个法向量为n2=(1,0,0),cos===-,故钝二面角B-OD-C的余弦值为-.

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