资源简介

1.1 课时1 空间向量及其线性运算
【课时目标】
掌握重难点 空间向量的概念、空间向量的加减及数乘运算
突破易错点 空间向量的共线问题
【课堂巩固】
重难点1　空间向量的加减运算
1.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,+++= (　　)
A.
B.
C.
D.
重难点2　空间向量的数乘运算
2.如图,已知在空间四边形ABCD中,F为BC的中点,E为AD的中点,若+=λ,则λ=　　　　.
易错点　空间向量的共线问题
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在棱A1D1上,且=λ,F在对角线A1C上,且=.若E,F,B三点共线,求实数 λ的值.
【课后必刷】
1.下列关于空间向量的说法正确的是 (　　)
A.若向量a,b共线,则a,b所在的直线重合
B.若向量a,b所在的直线是异面直线,则a,b共面
C.若A,B,C,D四点不共面,则向量,不共面
D.若A,B,C,D四点不共面,则向量,,共面
2.[教材习题变式]已知在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则2--= (　　)
A.
B.
C.2
D.2
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由顶点连接且与向量相等(不含向量本身)的不同向量共有 (　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于 (　　)
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a-c
D.b-a+c
5.已知四边形ABCD,O为空间内任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 (　　)
A.平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形
6.设e1,e2是空间内两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k= (　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AA1的中点,已知=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=　　　　.
8.(多选题)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列结论正确的有 (　　)
A.-=
B.'=+'+'
C.'='
D.+'++='
9.[高考导向衔接]如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,求x,y的值.
10.胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔,它的形状可视为正四棱锥.若将金字塔模型设为如图所示的四棱锥P-ABCD,试用,, 来表示.
参考答案
1.C　解析:+++=+++=.
2.2　解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG,GF,则+=2+2=2,故λ=2.
3.解析:设=a,=b,=c.
∵=λ,=,∴=λ=λ=λb,
==(-)=(+-)=a+b-c,
∴=-=a+-λb-c.
又=++=-λb-c+a=a-λb-c,
且E,F,B三点共线,∴=.故-λ=-λ,解得λ=.
1.B　解析:若向量a,b共线,则a,b所在的直线可能平行,A项错误.任意两个向量都是共面的,B项正确,C项错误.A,B,C,D四点不共面,易判断向量,,不共面,D项错误.
2.B　解析:如图,取CD的中点F,连接AF,EF,
∵在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,F是CD的中点,
∴2--=2-(+)=2-2=2=.
3.C　解析:与向量相等的向量有,,,共3个.
4.C　解析:=-=(-)-,
∵==c,
∴=b-a-c.
5.A　解析:∵+=+,
∴=,
∴∥且||=||.
故四边形ABCD为平行四边形.
6.D　解析:∵=++=7e1+(k+6)e2,且与共线,
∴=x,
即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,
故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0.
又∵e1,e2不共线,∴解得故实数k的值为1.
7.-a-b+c　解析:=++=--+,
又∵M是AA1的中点,
∴=,
∴=--+.
∵=a,=b,=c,
∴=-a-b+c.
8.ABC　解析:
作出平行六面体ABCD -A'B'C'D',如图所示,可得-=+=,故A项正确;+'+'=++'=',故B项正确;C项显然正确;+'++=+=,故D项不正确.
9.解析:∵=++
=-+--
=-+=-+(+)
=-+(+)
=-++(-)
=+-,
又=+x+y,
∴x=,y=-.
10.解析:=+=+=+-=-+.
即=-+.1.1 课时2 空间向量的数量积运算
【课时目标】
掌握重难点 空间向量数量积的运算性质及其应用
突破易错点 空间向量数量积的应用
【课堂巩固】
重难点1　数量积的概念
1.已知a=p-q,b=2p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b= (　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
重难点2　两向量的夹角
2.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a与3b+a互相垂直,则等于 (　　)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
易错点　利用向量的数量积求向量的模
3.若向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=,则|a-b|等于 (　　)
A.
B.2
C.
D.3
【课后必刷】
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,则·等于 (　　)
A.-2
B.0
C.2
D.4
2.[教材习题变式]已知|a|=4,|b|=2,=60°,则|a-3b|等于 (　　)
A.
B.2
C.28
D.2
3.下列各式正确的是 (　　)
A.|a|·a=a2
B.(a·b)2=a2·b2
C.a·(a·b)=b·a2
D.|a·b|≤|a||b|
4.在正四面体ABCD中,与的夹角的大小等于 (　　)
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
5.已知a,b是两异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成角的大小为 (　　)
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
6.如图,正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.若线段CF上有一点N,使MN⊥AE,则=　　　.
7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为　　　　.
8.如图,在空间四边形OABC中,OA=4,AB=4,AC=2,BC=3,∠OAC=60°,∠OAB=45°,求向量与夹角的余弦值.
9.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角的大小为60°
D.正方体的体积为|··|
10.[高考导向衔接]如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D两点间的距离.
11.粽子起源于中国,为端午节的美食之一,最常见的“四角粽子”的形状可视为一个正四面体.某“四角粽子”可看作是如图所示的正四面体S-ABC,点E,F分别为SC,AB的中点.
(1)用向量,,表示向量;
(2)若SA=2,求EF的长.
参考答案
1.A　解析:∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(p-q)·(2p+q)=2p2-p·q-q2=2-0-1=1.
2.C　解析:由题意得a·(3b+a)=0,即3a·b=-|a|2=-9,解得a·b=-3,
又cos===-,∈[0°,180°],∴=120°.
3.D　解析:设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.
∵|a|=|b|=|a+b|,∴△OAC为正三角形,
∴∠AOB=120°,∴|a-b|=||=3.
1.C　解析:·=(+)·(+)=·+·++·=0+0+2+0=2.
2.D　解析:|a-3b|2=a2-6a·b+9b2=42-6×4×2×cos 60°+9×22=28,∴|a-3b|=2.
3.D　解析:根据定义可判断出A,B,C项均不正确.
4.D　解析:如图,<,>=180°-<,>=120°.
5.B　解析:因为=++,所以·=(++)·,所以cos<,>==,所以<,>=60°.
6.　解析:设=m,=+,=+m,
又·=0,所以×1×1×-+4m=0,解得m=.
7.1　解析:因为=+=+(+)=+(+),而=+,
所以·=+(+)·(+)=(+)2=1.
8.解析:∵=-,
∴·=·-·=||·||·cos<,>-||||·cos<,>=4×2×cos 120°-4×4×cos 135°=8,
∴cos<,>===.
9.AB　解析:如图所示,(++)2=(++)2==3,故A项为真命题;
·(-)=·=0,故B项为真命题;与的夹角是与的夹角的补角,而与的夹角的大小为60°,故与的夹角的大小为120°,故C项是假命题;正方体的体积为||||||,故D项为假命题.
10.解析:在平行四边形ABCD中,
∵∠ACD=90°,
∴·=0,同理可得·=0.
在空间四边形ABCD中,
∵AB与CD成60°角,
∴<,>=60°或<,>=120°.
又=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos<,>,
∴当<,>=60°时,||2=4,
此时B,D两点间的距离为2,
当<,>=120°时,||2=2,
此时B,D两点间的距离为.
11.解析:(1)因为点E,F分别为SC,AB的中点,所以=+,
所以=-= +-.
(2)由(1)知= +-,
由题意知SA=SB=SC=2,且∠ASB=∠ASC=∠CSB=60°,
所以= +++·-·-·=1+1+1+1-1-1=2,所以||=,即EF的长为.

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