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1.3 课时1 空间直角坐标系
【课时目标】
掌握重难点 空间直角坐标系
突破易错点 点的坐标、向量的坐标
【课堂巩固】
重难点1　空间直角坐标系中点的坐标
1.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,若AD=14,DC=8,DD1=4,则C1的坐标是 (　　)
A.(0,8,4)
B.(0,4,8)
C.(8,0,4)
D.(4,8,14)
重难点2　空间直角坐标系中向量的坐标
2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,向量a在基底{,,}下的坐标为(3,5,-8),则向量a在基底{,,}下的坐标为 (　　)
A.(5,3,-8)
B.(-3,5,8)
C.(5,-3, 8)
D.(-5,3,-8)
易错点　由向量的坐标求点的坐标
3.若四边形ABCD为平行四边形,且A(3,1,2),B(1,-2,1),C(2,5,-3),则顶点D的坐标为　　　　.
【课后必刷】
1.[教材习题变式]已知i,j,k是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,已知A点的坐标为(1,-1,1),且=-2i+j-k,则B点的坐标为 (　　)
A.(-1,0,0)
B.(-2,1,-1)
C.(1,-1,1)
D.(1,-1,-1)
2.在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到平面xOz的距离是 (　　)
A.1
B.2
C.3
D.
3.关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(-2,1,3),下列结论错误的是 (　　)
A.点P关于x轴对称的点的坐标为(-2,-1, -3)
B.点P关于y轴对称的点的坐标为(-2,-1, 3)
C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(2,-1,-3)
D.点P关于平面xOy对称的点的坐标为(-2,1,-3)
4.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(3,2,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为 (　　)
A.(5,6,7)
B.(7,5,6)
C.(6,7,5)
D.(4,2,3)
5.已知点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|等于 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.已知点P(1,2,3)与点Q(1,-1,m)之间的距离为,则m=　　　　.
7.已知一个正方体截下的一角为P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　　　　.
8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标.
9.[高考导向衔接](多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列结论正确的是 (　　)
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
10.已知点P的坐标为(a,3a+6,0),当点P到点M(2a,2a+5,a+2)的距离最小时,求实数a的值.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,|PD|=2b,顺次连接各侧棱的中点E,F,G,H,建立如图所示的空间直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.
参考答案
1.A　解析:∵AD=14,DC=8,DD1=4,∴C1的坐标是(0,8,4).
2.D　解析:∵a=3+5-8=3-5-8=-5+3-8,
∴向量a在基底{,,}下的坐标为(-5,3,-8).
3.(4,8,-2)　解析:由四边形ABCD是平行四边形知 =,
设D(x,y,z),则=(x-3,y-1,z-2),=(1,7,-4),
所以解得即点D的坐标为(4,8,-2).
1.A　解析:因为=-2i+j-k,所以的坐标为(-2,1,-1),而A点的坐标为(1,-1,1),所以B点的坐标为(-1,0,0).
2.B　解析:因为点P(-1,-2,-3),所以点P(-1,-2,-3)到平面xOz的距离为2.故选B.
3.B　解析:由对称的性质可得,点P关于x轴对称的点的坐标为(-2,-1,-3),点P关于y轴对称的点的坐标为(2,1,-3),点P关于坐标原点对称的点的坐标为(2,-1,-3),点P关于平面xOy对称的点的坐标为(-2,1,-3).
4.B　解析:设点A对应的向量为,则=3a+2b+4c=3(i+j)+2(j+k)+4(k+i)=7i+5j+6k,故点A在基底{i,j,k}下的坐标为(7,5,6).
5.B　解析:AB的中点M的坐标为2,,3,点M到点C的距离|CM|= = .故选B.
6.1或5　解析:由于|PQ|= = ,解得m=1或m=5.
7.,,　解析:由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),
由重心的坐标公式得点G的坐标为,,.
8.解析:设x,y,z轴的单位向量分别为e1,e2,e3,
其方向与各轴的正方向相同,
则=++=4e1+4e2+4e3,
∴=(4,4,4).
∵=++=4e1+4e2+2e3,
∴=(4,4,2).
∵=+=--=-4e1-2e2,∴= (-4,-2,0).
9.ACD　解析:根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),选项A正确;
点B的坐标为(4,5,0),点C1的坐标为(0,5,3),故点C1关于点B对称的点的坐标为(8,5,-3),选项B错误;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1=BC1==5=AB,
所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),选项C正确;
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),选项D正确.
10.解析:|PM|=
==,
所以当a=-1时,|PM|取最小值.
11.解析:因为E,F,G,H分别为侧棱PA,PB,PC,PD的中点,
所以由立体几何知识可知平面EFGH与底面ABCD平行,
从而可知这4个点的竖坐标都为点P的竖坐标的一半,也就是b.
由H为DP的中点,得H(0,0,b).
因为点E在底面上的射影为AD的中点,
所以点E的横坐标和纵坐标分别为a和0.
所以点E(a,0,b),同理G(0,a,b).
因为点F在平面xOz和yOz上的射影分别为点E和点G,
所以点F的横坐标与点E的横坐标相同且为a,
点F的纵坐标与点G的纵坐标相同且为a,
又点F的竖坐标为b,所以F(a,a,b).1.3 课时2 空间向量运算的坐标表示
【课时目标】
掌握重难点 空间向量运算的坐标表示
突破易错点 向量数量积的坐标表示
【课堂巩固】
重难点1　向量加减的坐标表示
1.已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于 (　　)
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
重难点2　向量数乘的坐标表示
2.若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b= (　　)
A.(-4,1,0)
B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0)
D.(4,-1,-4)
易错点　向量数量积的坐标表示
3.若在△ABC中,C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则实数k的值为 (　　)
A.
B.-
C.2
D.±
【课后必刷】
1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),则a·b= (　　)
A.-8
B.-7
C.-6
D.-5
2.[教材习题变式]已知向量a=(1,,),b=(1,0,),则cos= (　　)
A.
B.
C.
D.
3.已知向量a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于 (　　)
A.3
B.2
C.
D.5
4.若向量a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)= (　　)
A.(4,6,-5)
B.5
C.7
D.36
5.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q= (　　)
A.-1
B.1
C.0
D.-2
6.设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则p在基底{i,j,k}下的坐标是 (　　)
A.(12,14,10)
B.(10,12,14)
C.(14,12,10)
D.(4,3,2)
7.已知在空间直角坐标系中有A(-3,-1,1),B(-2,2,3)两点,在z轴上有一点C到A,B两点的距离相等,则C点的坐标为　　　　.
8.如图,在空间直角坐标系O-xyz中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,求点D的坐标.
9.(多选题)从点P(1,2,3)出发,沿着向量v=(-4,-1,8)所在的直线运动到点Q,使得|PQ|=18,则Q点的坐标为 (　　)
A.(-1,-2,3)
B.(9,4,-13)
C.(-7,0,19)
D.(1,-2,-3)
10.[高考导向衔接]已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设向量a=,b=
(1)设|c|=3,c∥,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
11.某人用钢筋焊接一个棱长为2 m的正方体框架ABCD-A1B1C1D1,如图所示,E,F分别为DA,BB1的中点,M,N分别为线段D1A1,A1B1上的动点(不包括端点),且满足EN⊥FM.若在M,N之间用钢筋焊接,求钢筋的最短长度.
参考答案
1.B　解析:b=a+b-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).
2.C　解析:2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
3.D　解析:=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),则·=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20=0,
∴k=±.
1.A　解析:a·b=1×2+(-2)×(-1)+3×(-4)=2+2-12=-8.
2.C　解析:a·b=1+0+3=4,|a|==,|b|==2,
∴cos===.
3.A　解析:∵a-b+2c=(9,3,0),∴|a-b+2c|=3.
4.B　解析:∵b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),∴a·(b+c)=2×2+2×3+(-1)×5=5.
5.A　解析:∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),∴p·q=1×0+0×3+1×(-1)=-1.
6.A　解析: 依题意知向量p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故p在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).
7.0,0,　解析:设C(0,0,z),
∵|AC|=|BC|,∴=,
整理得2z-3=0,解得z=,
∴C点的坐标为0,0,.
8.解析:如图,
过点D作DE⊥BC,垂足为E.
在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得||=1,||=,
∴||=||sin 30°=,||=||-||=||-||cos 60°=1-=,∴点D的坐标为0,-,.
9.BC　解析:设Q(x0,y0,z0),则=λv,
即(x0-1,y0-2,z0-3)=λ(-4,-1,8).
由|PQ|=18,得=18,
解得λ=±2,
所以(x0-1,y0-2,z0-3)=±2(-4,-1,8).
故或
10.解析:(1)∵=(-2,-1,2),且c∥,
∴可设c=λ=(-2λ,-λ,2λ),
∴|c|==3|λ|=3,
解得λ=±1.
故c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),∴ka-2b=(k+2,k,-4).
又∵(ka+b)⊥(ka-2b),
∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-.
11.解析:以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(1,0,0),F(2,2,1).
设M(x,0,2),N(2,y,2),其中0则=(1,y,2),=(x-2,-2,1).
∵⊥,
∴·=(1,y,2)·(x-2,-2,1)=x-2y=0,∴x=2y.∵0由空间两点间的距离公式可得
|MN|=
=.
结合二次函数的性质可知,当y=时,|MN|min=.所以钢筋的最短长度为 m.

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