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1.4 课时3 空间中直线、平面的垂直
【课时目标】
掌握重难点 用向量解决空间中的垂直问题
突破易错点 线面垂直的应用
【课堂巩固】
重难点1　两条直线垂直的判断
1.设直线l1的一个方向向量为a=(1,2,-2),直线l2的一个方向向量为b=(-2,3,m).若l1⊥l2,则m等于 (　　)
A.1
B.
C.2
D.3
重难点2　两个平面垂直
2.已知平面α的一个法向量为(2,-1,3),平面β的一个法向量为(3,9,1),则平面α和平面β的位置关系是 (　　)
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.重合
易错点　直线与平面垂直
3.已知直线l的一个方向向量为(2,4,5),平面α的一个法向量为(1,2,t),若l⊥α,则实数t= (　　)
A.
B.1
C.-2
D.-
【课后必刷】
1.已知平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是 (　　)
A.-3
B.6
C.-6
D.-12
2.已知两条直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,-3,1),b=(-1,1,5),则直线l1,l2的位置关系为 (　　)
A.平行
B.垂直
C.相交
D.重合
3.已知两直线的方向向量分别为a,b,则下列选项能使a⊥b的是 (　　)
A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0)
B.a=(0,1,0),b=(1,0,1)
C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1)
D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0)
4.[教材习题变式]已知在空间直角坐标系O-xyz中,点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 (　　)
A.(1,0,-2)
B.(1,0,2)
C.(-1,0,2)
D.(2,0,-1)
5.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是 (　　)
A.,,-
B.,-,
C.-,,
D.-,-,-
6.已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB'的中点.求证:CE⊥A'D.
8.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是 (　　)
A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=2,1,-,则l⊥m
B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α⊥β
D.若平面α经过A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0)三点,向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
9.[高考导向衔接]如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上,且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.
10.如图,已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面),BC是圆柱底面的直径,O为底面圆心,E为CC1的中点,A是底面圆周上异于B,C的一点,A1是上底面圆周上异于B1,C1的一点,且AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=4,求证:B1O⊥平面AEO.
参考答案
1.C　解析:因为l1⊥l2,所以a·b=0,则有1×(-2)+2×3+(-2)×m=0,即2m=6-2=4,得m=2.
2.C　解析:因为(2,-1,3)·(3,9,1)=2×3-1×9+3×1=0,所以两个平面的法向量垂直,故平面α和平面β垂直.
3.A　解析:因为l⊥α,所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行,
可得==,解得t=.
1.B　解析:∵平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),且α⊥β,
∴u·v=-6+y+z=0,∴y+z=6.
2.B　解析:因为a=(2,-3,1),b=(-1,1,5),
所以a·b=-1×2+1×(-3)+1×5=0,
所以a⊥b,即l1与l2垂直.
3.B　解析:因为a=(0,1,0),b=(1,0,1),所以a·b=0×1+1×0+0×1=0,所以a⊥b,故选B.
4.C　解析:由题意知=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z),又PA⊥平面ABC,所以有·=(-1,-1,-1)·(x,-1,z)=0,得-x+1-z=0,　①·=(2,0,1)·(x,-1,z)=0,得2x+z=0.　②
联立①②得x=-1,z=2,故点P的坐标为(-1,0,2).
5.D　解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
所以令x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1),所以平面ABC的单位法向量为±=±,,.
6.B　解析:当a,b不共线时,由c·a=0且c·b=0,可推出l⊥α;当a,b为共线向量时,由c·a=0且c·b=0,不能够推出l⊥α.所以“c·a=0且c·b=0”不是“l⊥α”的充分条件.
若l⊥α,则一定有c·a=0且c·b=0,所以“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的必要条件.
综上所述,“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的必要不充分条件.
7.解析:证明:设=a,=b,=c,
由题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.
∵=b+c,=-c+b-a,
∴·=-c2+b2=0,
∴⊥,即CE⊥A'D.
8.AD　解析:对于A,a·b=1×2-1×1+2×-=0,
则a⊥b,所以l⊥m,故A项是真命题;
对于B,a·n=0,则a⊥n,
所以l∥α或l α,故B项是假命题;
对于C,n1·n2=6,所以α⊥β不成立,故C项是假命题;
对于D,易得=(-1,1,1),=(-1,1,0),
因为向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,
所以n·=0,即-1+u+t=0,
得u+t=1,故D项是真命题.
9.解析:证明:如图,连接OP,OQ,PQ,以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x轴、z轴,以垂直于OA的直线为y轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,0,1),
B-,,0.
∴=-,,0,
∵P为AC的中点,
∴P,0,.
由已知可得==-,,0.
又=+=,,0,
∴=-=0,,-.
∵·=0,∴⊥,即PQ⊥OA.
10.解析:证明:由题意可知AB,AC,AA1两两互相垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),O(2,2,0),B1(4,0,4),∴=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).
设平面AEO的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令x=1,得平面AEO的一个法向量为n=(1,-1,2).
∵=(-2,2,-4)=-2n,
∴∥n,
∴B1O⊥平面AEO.1.4 课时5 两个平面的夹角
【课时目标】
掌握重难点 平面与平面的夹角
突破易错点 用平面的法向量求两平面的夹角
【课堂巩固】
重难点1　二面角
1.在一个二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 (　　)
A.
B.-
C.
D.或-
重难点2　平面与平面的夹角
2.已知在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为　　　　.
易错点　两平面的法向量的夹角与两平面的夹角之间的关系
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
【课后必刷】
1.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=,则二面角A-BD-C的大小为 (　　)
A.
B.
C.或
D.或
2.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形的中心,则折起后的∠EOF的大小为 (　　)
A.0
B.
C.π
D.
3.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2).设平面ABC与平面ABO的夹角为θ,则cos θ= (　　)
A.
B.
C.
D.
4.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为 (　　)
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
5.[教材习题变式]正△ABC与正△BCD所在的平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.如图,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2,则二面角B-PD-C的余弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角的大小为45°,则a=　　　　.
8.已知正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,求平面PAB与平面PCD的夹角的大小.
9.(多选题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则下列结论正确的是 (　　)
A.点B1的坐标为(2,2,3)
B.=(-2,0,3)
C.平面A1BC1的一个法向量为(-3,3,-2)
D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为
10.[高考导向衔接]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD上的动点.
(1)确定点E的位置,使PB∥平面AEC;
(2)设PA=AB=1,且在第(1)问的结论下,求平面AEC与平面ADE的夹角的余弦值.
11.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:BD⊥平面AED.
(2)求二面角F-BD-C的余弦值.
参考答案
1.D　解析:由==,可知这个二面角的余弦值为或-.
2.　解析:由题意得 =(-1,2,0), =(-1,0,3),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
由知令x=2,得y=1,z=,
则平面ABC的一个法向量为n=2,1,.
平面xOy的一个法向量为 =(0,0,3),所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为 =.
3.B　解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E1,1,,∴=(1,0,1),=1,1, .设平面A1ED的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,且n·=0,即
令x=1,得y=-,z=-1,∴n=1,-,-1.
又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),∴cos==-,
∴平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为.
1.C　解析:当二面角A-BD-C为锐角时,它的大小等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它的大小等于π-=π-=.
2.C　解析:=(+), =(+),
所以 ·=(·+·+·+·)=-||2.
又||=||=||,
所以cos<,>==-,所以∠EOF=π.
3.C　解析:cos θ===.
4.C　解析:由条件知·=0,·=0,=++,
∴||2=(++)2=62+42+82+2×6×8×cos<,>,
得cos<,>=-,∴所求二面角的大小为60°.
5.C　解析:取BC的中点O,连接AO,DO,建立以O为原点,OD,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),设BC=1,则A0,0,,B0,-,0,D,0,0,∴ =0,0,, =0,,, = ,,0.可进一步求出平面ABD的一个法向量为n=(1,- ,1),由于 =0,0,为平面BCD的一个法向量,∴cos=,∴sin=.
6.A　解析:由勾股定理得AB=AD=2,以A为原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建系(图略).易求得平面PCD的一个法向量为m=(0,1,1),平面PBD的一个法向量为n=(1,1,1),所以cos=.
7.　解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面α的法向量为u=(x,y,z),
又=(-3,4,0),=(-3,0,a),
则即
得3x=4y=az,取z=1,则u=,,1.
而|cos|==,
又∵a>0,
∴a=.
8.解析:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,
则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),
C(1,1,0), =(1,0,-1), =(0,-1,0).
可知平面PAB的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),
则得
令x=1,则z=1,所以n2=(1,0,1).
所以cos==,
即平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为,
且夹角的范围为[0°,90°],所以夹角的大小为45°.
9.ABD　解析:因为AB=AD=2,AA1=3,所以A1(2,0,3),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),所以=(-2,0,3),=(0,2,-3),故A,B正确;
设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),
所以则令x=-3,则y=-3,z=-2,即平面A1BC1的一个法向量为m=(-3,-3,-2),故C错误;
由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n=(0,0,1),由于cos===-,结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为,故D正确.
10.解析:(1)当E为PD的中点时,可使PB∥平面AEC.证明如下:
如图,连接BD交AC于点O,连接EO,则O为BD的中点,
∵E为PD的中点,
∴OE∥PB,
又OE 平面AEC,PB 平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),E0,,,B(1,0,0),C(1,1,0).
∴=0,,,=(1,1,0),
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则即
令x=1,则y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1).
可知平面ADE的一个法向量为=(1,0,0).
∴|cos<,n>|==.
设平面AEC与平面ADE的夹角为θ,
则cos θ=|cos<,n>|=,
故平面AEC与平面ADE的夹角的余弦值为.
11.解析:(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.
又CB=CD,所以∠CDB=30°,
因此∠ADB=90°,AD⊥BD,又AE⊥BD,
且AE∩AD=A,AE,AD 平面AED,
所以BD⊥平面AED.
(2)连接AC,由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设CB=1,
则C(0,0,0),B(0,1,0),D,-,0,F(0,0,1),
因此=,-,0,=(0,-1,1).
设平面BDF的法向量为m=(x,y,z),
则m·=0,m·=0,
所以x=y=z,
取z=1,则m=(,1,1).
由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,
则cos===,
所以二面角F-BD-C的余弦值为.1.4 课时4 直线与直线、直线与平面的夹角
【课时目标】
掌握重难点 异面直线所成的角、直线与平面所成的角
突破易错点 求直线与平面所成的角
【课堂巩固】
重难点1　异面直线所成的角
1.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成角的大小为 (　　)
A.
B.
C.
D.
重难点2　直线与平面所成的角
2.平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成角的大小为 (　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
易错点　用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角
3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
【课后必刷】
1.[教材习题变式]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为 (　　)
A.0
B.
C.-
D.
2.设直线l与平面α相交,且直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若=,则l与α所成角的大小为 (　　)
A.
B.
C.
D.
3.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则PC与平面ABCD所成角的大小为 (　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为 (　　)
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为　　　　.
7.若平面α的一个法向量为n=(-,1,1),直线l的一个方向向量为a=(,1,1),求直线l与平面α所成角的正弦值.
8.[高考导向衔接](多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是 (　　)
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.AD与CB1所成角的大小为60°
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,求CE与BD所成角的大小.
10.已知几何体EFG-ABCD,如图所示,其中四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,且边长均为1,点M在棱DG上.
(1)求证:BM⊥EF.
(2)是否存在点M,使得直线MB与平面BEF所成角的大小为45° 若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C　解析:因为向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,所以cos===,即=,所以直线l与m所成角的大小为.
2.C　解析:l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角),因为cos==,所以=60°,故l与α所成角的大小为60°.
3.D　解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
所以=(-2,0,1).
连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,
所以平面BB1D1D的一个法向量为a==(-2,2,0).
所以所求角的正弦值为|cos|===.
1.A　解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,-2,3),=(-2,2,0).
∴cos<,>==0,
∴AC与BD1所成角的余弦值为0.
2.C　解析:如图,直线l与平面α所成的角θ=-=.
3.A　解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).
所以cos<,n>==-,
所以<,n>=120°,
所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角的大小为60°,
故PC与平面ABCD所成角的大小为30°.
4.B　解析:取AC的中点D,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,则Ba,0,0,C10,,a,A0,-,0,B1a,0,a.
∴cos<,>==0,
∴AB1与C1B所成角的大小为90°.
5.B　解析:建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
则A1(1,0,1),E1,,0,F0,,1,B1(1,1,1),
∴=(0,1,0).
设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),
则即令y=2,则
∴n=(1,2,1).cos==,
故A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为.
6.　解析:以C为坐标原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴建立空间直角坐标系C-xyz(图略).
设CA=CB=CC1=1,则B(0,1,0),M,,1,A(1,0,0),N,0,1,故=,-,1,=-,0,1,
所以cos<,>===.
7.解析:设直线l与平面α所成的角为θ,可得sin θ===,
即直线l与平面α所成角的正弦值是.
8.ABC　解析:以D为原点,分别以 , ,所在方向为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1.易证AC1⊥平面CB1D1,∴C项正确;
∵=(-1,-1,0),=(-1,1,1),∴·=1-1=0,即BD⊥AC1,由上述可知是平面CB1D1的一个法向量,∴BD∥平面CB1D1,即A,B项正确;
∵=(-1,0,0),=(1,0,1),
∴cos<,>= =-,
即AD与CB1所成角的大小为45°,D项不正确.
9.解析:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),E,,1,B(1,1,0),D(0,0,0).
所以=,-,1,=(-1,-1,0),所以·=-++0=0,
所以⊥,即CE⊥BD,
所以CE与BD所成角的大小为90°.
10.解析:(1)证明:∵四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,
∴GD⊥DA,GD⊥DC.
又DA∩DC=D,DA,DC 平面ABCD,∴GD⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1).
∵点M在棱DG上,
∴可设 M(0,0,t)(0≤t≤1).
∵=(1,1,-t),=(-1,1,0),
∴·=0,∴BM⊥EF.
(2)假设存在点M,使得直线MB与平面BEF所成角的大小为45°.
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
∵=(0,-1,1),=(-1,0,1),
∴∴
令z=1,得x=y=1,
∴n=(1,1,1)为平面BEF的一个法向量,
由(1)可知=(1,1,-t),
∴|cos|==.
∵直线MB与平面BEF所成角的大小为45°,
∴sin 45°=|cos|,
∴=,
解得t=-4±3,
又0≤t≤1,∴t=3-4,
∴点M的坐标为(0,0,3-4).
故当点M在棱DG上,且DM=3-4时,直线MB与平面BEF所成角的大小为45°.1.4 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示
【课时目标】
掌握重难点 直线的方向向量与平面的法向量
突破易错点 空间中点的位置的确定
【课堂巩固】
重难点1　直线的方向向量
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
重难点2　平面的法向量
2.设平面α内两向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量是平面α的一个法向量的是 (　　)
A.(-1,-2,5)
B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1)
D.(1,-1,-1)
易错点　空间中点的位置的确定
3.已知O为坐标原点,在四面体OABC中,A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0),直线AD∥BC,并且AD交平面xOz于点D,求点D的坐标.
【课后必刷】
1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为μ,且l α,则能使l∥α的是 (　　)
A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1)
D.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)
2.已知A,B,C三点的坐标分别是(4,1,3),(2,-5,1),(3,7,λ),且⊥,则λ的值是 (　　)
A.28
B.-28
C.14
D.-14
3.[教材习题变式]已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ的值是 (　　)
A.-
B.6
C.-6
D.
4.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y) 分别是直线 l1,l2 的方向向量,若 l1∥l2,则 (　　)
A.x=6,y=15
B.x=3,y=
C.x=3,y=15
D.x=6,y=
5.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量为n=(1,y,3),若AB α,则 (　　)
A.x=6,y=2
B.x=2,y=6
C.3x+4y+2=0
D.4x+3y+2=0
6.若两个不同的平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-1),v=(2,3,8),则 (　　)
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正确
7.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(-2,0,-4),则 (　　)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l α
D.l与α相交但不垂直
8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(a,1,1)在平面ABC内,则a=　　　　.
9.(多选题)若直线l的一个方向向量为d=(6,2,3),平面α的一个法向量为n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系可能是 (　　)
A.垂直
B.平行
C.直线l在平面α内
D.直线l与平面α斜交
10.[高考导向衔接]已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,且=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:是平面ABCD的一个法向量.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
11.广场上有一四棱锥形状的建筑P-ABCD,如图,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=.现要在垂直于平面ACE的方向上钻一个孔,试建立恰当的空间直角坐标系并求平面ACE的一个法向量.
参考答案
1.A　解析:因为=(2,4,6)=2(1,2,3),所以直线l的一个方向向量可以为(1,2,3).
2.B　解析:∵(-1,1,-1)·(1,2,1)=-1+2-1=0,(-1,1,-1)·(-1,1,2)=1+1-2=0,
∴向量(-1,1,-1)是平面α的一个法向量.
3.解析:∵D∈平面xOz,∴设D(x,0,z),
则=(x,-3,z-5),=(-1,3,0).
∵∥,∴=λ,∴(x,-3,z-5)=λ(-1,3,0),
∴即
故D点的坐标为(1,0,5).
1.D　解析:由l∥α,得a⊥μ,即a·μ=0,只有D项满足要求.
2.D　解析:=(-2,-6,-2),
=(-1,6,λ-3),
∵⊥,∴·=-34-2(λ-3)=-28-2λ=0,∴λ=-14.
3.B　解析:∵α∥β,∴α的法向量与β的法向量也互相平行,
∴==,即λ=6.
4.D　解析:由题意得==,∴x=6,y=.
5.C　解析:由题意可知·n=0,可得3x+4y+2=0.
6.B　解析:∵u·v=(1,2,-1)·(2,3,8)=1×2+2×3-1×8=0,∴u⊥v,∴α⊥β.
7.B　解析:因为n=-2a,所以a与平面α的法向量平行,所以l⊥α.
8.-1　解析:设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),又=(-1,1,0),=(-1,0,1),
所以
取x=1,得n=(1,1,1).
因为P(a,1,1)在平面ABC内,
所以n·=a-1+1+1=0,解得a=-1.
9.BC　解析:∵d·n=-6+2×3+0=0,
∴d⊥n,∴直线l与平面α的位置关系可能是直线l在平面α内或平行.
10.解析:(1)证明:因为·=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0,
所以AP⊥AB,AP⊥AD.
又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD,
所以是平面ABCD的法向量.
(2)因为||==,
||==2,
·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,
所以cos<,>==,
故sin<,>=,
S ABCD=||·||sin<,>=8.
11.解析:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,,0),E0,,,B(1,0,0),
C(1,,0),
于是=0,,,=(1,,0).
设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
所以令y=-1,则x=z=.
所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,).1.4 课时2 空间中直线、平面的平行
【课时目标】
掌握重难点 用向量方法解决空间中的平行问题
突破易错点 用向量判断线面平行
【课堂巩固】
重难点1　判断两条直线平行
1.已知直线l1的一个方向向量为a=(2,-3,5),直线l2的一个方向向量为b=(-4,x,y),若l1∥l2,则x,y的值分别是 (　　)
A.6,-10
B.-6,10
C.-6,-10
D.6,10
重难点2　判断两个平面平行
2.已知向量a=(2,3,-4),b=(-3,x,y)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则 (　　)
A.x=-,y=6
B.x=-,y=-6
C.x=,y=6
D.x=,y=-6
易错点　判断线面平行
3.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则下列选项能使l∥α的是 (　　)
A.m=(1,2,1),n=(1,0,1)
B.m=(0,1,0),n=(0,3,0)
C.m=(1,-2,3),n=(-2,2,2)
D.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
【课后必刷】
1.已知直线l1的一个方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的一个方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ= (　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(2,3,λ)和b=(4,μ,-2),其中λ,μ∈R,若α∥β,则λ+μ的值为 (　　)
A.-
B.-5
C.
D.5
3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),若向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于 (　　)
A.3
B.6
C.-9
D.9
4.已知直线l的一个方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是 (　　)
A.l⊥α
B.l∥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l α
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　)
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
6.[教材习题变式]已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m=　　　　.
7.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则β与α的位置关系是　　　　.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心,求证:EF∥A1B.
9.(多选题)如图,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等,则下列结论正确的是 (　　)
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
10.[高考导向衔接]如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
参考答案
1.A　解析:由直线l1∥l2,得向量a,b平行,即==,所以x,y的值分别是6和-10.
2.A　解析:∵α∥β,∴a∥b,∴存在实数λ,使得a=λb,∴解得x=-,y=6.
3.C　解析:直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,要使l∥α,只需满足m·n=0即可.
对于A,m·n=2;对于B,m·n=3;对于C,m·n=0;对于D,m·n=-1.
1.B　解析:由l1∥l2,得v1∥v2,即==,故λ=2.
2.D　解析:∵α∥β,∴a∥b,
∴存在实数t,使得a=tb,即解得∴λ+μ=5.
3.C　解析:∵l⊥α,v与平面α平行,∴u⊥v,即u·v=0,∴1×3+(-3)×(-2)+z×1=0,∴z=-9.
4.D　解析:因为a·u=-3+4-1=0,
所以a⊥u,
所以l∥α或l α.
5.B　解析:
根据题意建立空间直角坐标系,如图.
设正方体的棱长为2,
则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2),
∴M(2,1,1),N(1,1,2),
∴=(-1,0,1).
又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),
∴·n=-1×0+0×1+1×0=0,
∴⊥n.
又∵MN 平面BB1C1C,
∴MN∥平面BB1C1C.
6.-3　解析:∵l∥平面ABC,
∴存在实数x,y,使得a=x+y,=(1,0,-1),=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),
∴解得m=-3.
7.α∥β　解析:∵=(0,1,-1),=(1,0,-1),
n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,
n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,
∴n⊥,n⊥,
∴n也为α的一个法向量.
又α与β不重合,
∴α∥β.
8.解析:证明:以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略).
令正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),E(1,1,2),F(1,2,1),
所以=(0,1,-1),=(0,2,-2).
因为=2,所以∥,而EF与A1B无公共点,
所以EF∥A1B.
9.ACD　解析:因为=+=+,
=+=+,
所以∥,从而A1M∥D1P,进一步可得A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故A,C,D项正确.
又B1Q与D1P不平行,所以B1Q与A1M不平行,故B项不正确.
10.解析:证明:设BD与AC交于点G,连接EG.
以C为原点,{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(0,0,1),G,,0,A(,,0),M,,1.
∵=-,-,1,=-,-,1,
∴=,∴∥,
∵GE 平面BDE,AM 平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
11.解析:如图所示,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
则O,,0,P0,0,,
A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设Q(0,1,m).
因为=-,-,,
=(-1,-1,1),
所以∥,
于是OP∥BD1.
又=-1,0,,=(-1,0,m),
当m=时,=,
即∥,所以AP∥BQ,又OP∩AP=P,BD1∩BQ=B,所以平面PAO∥平面D1BQ.
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.1.4 课时6 空间中的距离问题
【课时目标】
掌握重难点 点到直线的距离、点到平面的距离
突破易错点 两平行直线间的距离、两平行平面间的距离
【课堂巩固】
重难点1　点到直线的距离
1.已知直线l过定点A(2,3,1),且一个方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为 (　　)
A.
B.
C.
D.
重难点2　点到平面的距离
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点C1到平面A1BD的距离是 (　　)
A.a
B.a
C.a
D.a
易错点　两平行直线间的距离、两平行平面间的距离
3.若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　.
【课后必刷】
1.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则点P(1,2,-2)到平面α的距离为 (　　)
A.
B.
C.2
D.
2.已知平面α过点A(1,-1,2),且与α垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到α的距离为 (　　)
A.5
B.14
C.
D.
3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是 (　　)
A.
B.
C.
D.
4.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD垂直,则点B与点D之间的距离为 (　　)
A.
B.
C.
D.
5.[教材习题变式]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是 (　　)
A.5
B.8
C.
D.
7.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则DB到平面EFG的距离d为 (　　)
A.
B.
C.
D.1
8.(多选题)如图,在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中,点E为PC的中点,则下列结论不正确的是 (　　)
A.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
B.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
C.BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成角的大小大于30°
D.BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成角的大小小于30°
9.[高考导向衔接]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
10.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao).如图,已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为　　　　.
11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点.
(1)证明:平面AMN∥平面EFBD.
(2)求平面AMN与平面EFBD的距离.
参考答案
1.A　解析:因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以 =(2,0,1),则||=,=.所以点P到直线l的距离d==.
2.D　解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),则=(a,a,a),=(0,a,a).由于AC1⊥平面A1BD,所以点C1到平面A1BD的距离是==a.
3.　解析:因为两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则 =(2,1,1),所以两平面间的距离d===.
1.A　解析:因为 =(-2,0,3),所以点P到平面α的距离d===.
2.C　解析:∵=(-2,-6,2),·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,|n|=5,∴点P到平面α的距离d==.
3.D　解析:以P为坐标原点,分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则点P到平面ABC的距离d==.
4.C　解析:如图,由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,可求得
AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.
∵=++,
∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=2+12+2+2×(0+0+0)=,
∴||=.
5.C　解析:以D为原点,,,所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(图略).可求得平面AB1D1的一个法向量为n=(2,-2,1).可得A1到截面AB1D1的距离d==.
6.C　解析:以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0)(x>0),则B1(x,12,5).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),
由n⊥,n⊥,
得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=c,可取n=(0,5,12).
又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=,
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
7.B　解析:以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CG为z轴建立空间直角坐标系(图略),∴B(0,4,0),F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2).∴=(-2,2,0),=(-2,-4,2),∴平面EFG的一个法向量为m=(1,1,3).∵BD∥平面EFG,∴直线BD到平面EFG的距离即为点B到平面EFG的距离,又=(2,0,0),
∴d==.
8.ABC　解析:连接AC,BD,交点为O,连接OP,以O为坐标原点,OC,OD,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由正四棱锥P-ABCD的棱长均为2,点E为PC的中点,知点A(-,0,0),B(0,-,0),C(,0,0),D(0,,0),P(0,0,),E,0,,则=,,,=(-,0,-),=(0,,-).设m=(x,y,z)是平面PAD的法向量,则m⊥,且m⊥,即令x=1,则z=-1,y=-1,m=(1,-1,-1)是平面PAD的一个法向量.设BE与平面PAD所成的角为θ,则sin θ==<,故BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成角的大小小于30°.
9.解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2).
直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,,,且=(2,0,1),
故点M到直线AC1的距离d===.
(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量.
因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),
故点N到平面MA1C1的距离d'===.
10.　解析:以B为坐标原点,BA,BC所在的直线分别为x轴、y轴,在平面BAP内平行于AP的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
如图,B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1),
则=(1,1,1),=(2,0,0),=(2,0,2).
设n=(x,y,z)为平面ABM的一个法向量,
则
即
令z=-1,可得n=(0,1,-1).点P到平面MAB的距离d==.
11.解析:(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),
所以=,=,
所以EF∥MN,AM∥BF.
因为EF∩BF=F,MN∩AM=M,
所以平面AMN∥平面EFBD.
(2)设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,从而
解得
取z=1,得n=(2,-2,1).
由于=(0,4,0),
所以两平行平面间的距离d===.

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