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2024-2025 学年甘肃省白银市多校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 (1 + 3 )的实部为( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
2.若 服从两点分布，且 ( = 1) = 7 ( = 0)，则 ( = 0) =( )
A. 78 B.
1
12 C.
1
8 D.
1
4
3.已知全集 = ∪ = {0,1,2,3}， = {1,2}， ∩ = {0}，则 =( )
A. {0,3} B. {1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
4.函数 = (2 1)6在 = 1 处的瞬时变化率为( )
A. 6 B. 1 C. 6 D. 12
5.设正四面体 的棱长为 2， 是 的中点，则 的值为( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 1
6.某校当天的新增感冒人数 与温差 (单位：℃)的 5 组数据如下表：
5 7 8 9 11
9 17 20

由于保存不善，有两个数据模糊不清，用 ， 代替，已知 关于 的经验回归方程为 = 1.8 + 0.6，则
2 2 =( )
A. 226 B. 227 C. 228 D. 229
7.甲、乙、丙三人各自计划去甘肃白银旅游，他们在 7 月 13 日到 7 月 15 日这三天中的一天到达白银市，
他们在哪一天到达白银市相互独立，且他们各自在 7 月 13 日到 7 月 15 日到达白银市的概率如表所示．
到达日期 7 月 13 日 7 月 14 日 7 月 15 日
甲 0.4 0.4 0.2
乙 0.3 0.2 0.5
丙 0.7
若甲、乙两人同一天到达白银市的概率为 1，乙、丙两人同一天到达白银市的概率为 2，甲、丙两人同一
天到达白银市的概率为 3，则( )
A. 3 > 1 > 2 B. 2 > 1 > 3 C. 1 > 2 > 3 D. 3 > 2 > 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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8.已知函数 ( ) = 2 ( 12 +

3 )，则( )
A. ( )的值域为[ 2,2] B. ( )的最小正周期为 4
C.曲线 = ( )关于直线 = 3对称 D.函数 = ( + 3 )为奇函数
9.已知函数 ( ) = ( 2) ，则( )
A. ( )的极小值点为 2
B. ( )的极小值为
C.当 ( )恰有 1 个零点时， 的取值范围是[0, + ∞) ∪ { }
D.当 ( )恰有 2 个零点时， 的取值范围是( , + ∞)
10. ， ， ， ， 五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜.已知
每人每次丢完后都等可能地随机传向另外 4 人中的 1 人.第 1 次由 将骰子传出，记第 次传骰子之后骰子在
或 手上的概率为 ，记第 次传骰子之后骰子在 手上的概率为 ，则( )
A. 1 11 = 2 B. 2 = 3
C. = 1 10 × (
1 ) 1 + 24 5 D. =
1 1 1 1
20 × ( 2 ) + 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.在空间直角坐标系中，已知点 (1,0,2)， (0, 1,1)，且平面 的一个法向量 = ( 1,2, 2)，则直
线 与平面 所成角的正弦值为______．
12.某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量 (单位： )服从正态分布 (200, 2)，且 ( < 198) = 0.1，
则 (198 ≤ ≤ 202) =______.若购买 10 袋这种低钠盐，则这 10 袋低钠盐中质量在 198 202 之间的袋
数 的方差为______．
13.已知圆 ：(2 1) 2 + 2 + 2 = 0 与曲线 = 的公切线为直线 = + ( < 0)，则圆
的半径为______， = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 13 分)
研究者发现多看电视易使人变冷漠，下表数据(单位：人)是一个调查机构在某社区对此现象的调查结果：
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冷漠不冷漠合计
多看电视 70 30 100
少看电视 20 60 80
合计 90 90 180
(1)试问能否有 99.9%的把握认为多看电视与人变冷漠有关系？
(2)若从被调查的多看电视的 100 人中任选 2 人，求这 2 人中至少有 1 人不冷漠的概率．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
( 2
≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.0010
0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15.(本小题 15 分)
某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖(价值
10 元的消费券)的概率为 0.1，获得二等奖(价值 5 元的消费券)的概率为 0.2，获得三等奖(价值 2.5 元的消
费券)的概率为 0.4，未获奖则无消费券．
(1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率；
(2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率；
(3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为 元，求 的分布列、期望与方差．
16.(本小题 15 分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为矩形， 为棱 1的中点．
(1)若 = ，证明： ⊥ 1E.
(2)设 = 1， = 2， 1 = 4, 1 =
21
1 ( > 0)，且点 到平面 1 1的距离为 21 ，求 的值．
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17.(本小题 17 分)
1
已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 (0,1)， ( 3, 2 )两点．
(1)求 的方程．
(2)直线 ： = + 与 交于 ， 两点．
①若 = 1，求 的取值范围；
②若| | = 7，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1 1 ( +1) 2．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( ) ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，求 的取值集合；
(3)设 1 2 = 1， > 0， ∈ ， = 1，2，3， ， ，证明：
1
=1 ≥ ． (1+ ) 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 39
12.0.1 1.6
13. 2 1
14.(1)零假设 0：多看电视与人变冷漠没有关系，
2 = 180×(70×60 20×30)
2
则 902×100×80 = 36 > 10.828，
所以有 99.9%的把握认为可以推断假设不成立，
即有 99.9%的把握认为多看电视与人变冷漠有关系；
2
(2) 161 169根据题意可得这 2 人中至少有 1 人不冷漠的概率为 1 70 = 1
2100 330
= 330．
15.(1)每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为 0.1 + 0.2 + 0.4 = 0.7；
(2)这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为 15 × 0.7 × (1 0.7)4 = 0.02835；
(3)依题意可得 的可能取值为 0，2.5，5，10，
的分布列为：
0 2.5 5 10
0.3 0.4 0.2 0.1
则 ( ) = 0 × 0.3 + 2.5 × 0.4 + 5 × 0.2 + 10 × 0.1 = 0 + 1 + 1 + 1 = 3，
( ) = (0 3)2 × 0.3 + (2.5 3)2 × 0.4 + (5 3)2 × 0.2 + (10 3)2 × 0.1 = 8.5．
16.解：(1)证明：在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为矩形， 为棱 1
的中点，连接 ， 1 1，
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由题意，可得 ⊥ ，
由于 1 ⊥底面 ，则 1 ⊥ ，
由于 1， 平面 1 1，
可得 ⊥平面 1 1，
又由于 1 平面 1 1，
可得 ⊥ 1 ，得证；
(2)以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由于 = 1， = 2， 1 = 4，
可得 1(1,0,4)， (1,2,0)， 1(0,2,4)， 1(0,0,4)， (1,2,2)，
可得 1 1 = ( 1,2,0)， 1 = (0,2, 4)， 1 = (1,2, 2)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
1 1 = + 2 = 0,则
1 = 2 4 = 0,
令 = 1，得 = (4,2,1)，
由 1 1 = ( 1,0,0)， 1 = 1 = ( , 2 , 2 )，
可得 1 = 1 1 + 1 = ( 1,2 , 2 )，
21 | 1 = | = |6 4| 21因为点 到平面 1 1的距离为 ，可得 ，21 | | 21 = 21
1 5
解得 = 2或6．
2 2
17.(1) 若椭圆 的焦点在 轴上，则设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 过 (0,1)， ( 3, 12 )两点，
1
2 = 1 2所以 = 4
2
3 1 ，解得 2 ，符合题意，则椭圆方程为 +
2 = 1；
2 +
= 1 4
4 2 = 1
2 2
若椭圆 的焦点在 轴上，则设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
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1
因为椭圆 过 (0,1)， ( 3, 2 )两点，
1
2 = 1所以 ，解得
2 = 1
1 3 2 ，不符合题意． = 4
4 2 + 2 = 1
2
所以 的方程为 4 +
2 = 1．
2
(2) 4 +
2 = 1
联立 ，消去 得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0．
= +
= (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0，化简得 4 2 2 + 1 > 0．
①因为 = 1，所以 4 2 + 1 > 0，解得 5 < < 5，
所以 的取值范围为( 5, 5)．
2
②设 ( 1, 1)， (
8 4 4
2, 2)，则 1 + 2 = 4 2+1 , 1 2 = 4 2+1．
2
所以| | = 1 + 2 ( 21 + 2) 4 1 2 = 1+ 2 (
8 2 4 4
4 2+1 ) 4 4 2+1
= 4 1+
2
2 2
4 2+1 4 + 1 = 7，
化简得 48 4 24 2 9+ 16 2( 2 + 1) = 0，
16 2 = 48
4+24 2+9
即 2+1 ≥ 0，
即 48 4 + 24 2 + 9 ≥ 0，解得 32 ≤ ≤
3
2 ，
所以 的取值范围为[ 3 , 32 2 ]．
18.(1)当 = 1 时， (1) = 0，
导函数 ′( ) = 1 2 +1 1 2( +1)2，那么 ′(1) = 4，
因此 = ( )在点(1, (1)) 1 1处的切线为 = 4 4．
(2) 1 1
2
由于函数 ( ) = + ( +1) 2，因此导函数 ′( ) =
( +1) (2 +1)
2( +1)2 ，
又由于 (1) = 0， ( ) ≥ 0 恒成立，因此 = 1 是 ( )的极小值点，
(1) = 4 3 = 0 = 3那么 ′ 4 ，可得 4．
3 ( 1)(3 2+9 +4)
当 = 4时，导函数 ′( ) = 4 2( +1)2 ，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
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所以 ( ) ≥ (1) = 0，
故 3的取值集合为{ 4 }．
(3) 1 ≥ 1 3 1 ≥ 1 3证明：根据第二问知 ( +1) 2 4 ，所以 ( +1) 2 4 ，
1 3则 =1 (1+ ) ≥ 2
4 ln( 1 2 )，
因为 1 1 2 = 1，所以 =1 (1+ ≥ ． ) 2
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