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2024-2025 学年云南省玉溪一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 (1 ) = 3 + ( 是虚数单位)，则 =( )
A. 2 + B. 2 C. 1 + 2 D. 1 2
2.某射击运动员在男子 10 米气步枪决赛中，最后 10 枪成绩分别为 10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，
9.9，10.5，10.6，则这 10 枪成绩的上四分位数是( )
A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7
3.若 = { | 1 ≤ ≤ 3}， = { || | > 1}，则 ∩ =( )
A. { |1 < ≤ 3} B. { | 1 < < 1} C. { |1 ≤ ≤ 3} D. { | > 1}
4.已知数列{ }满足要求 1 = 1， +1 = 2 + 1，则 5 =( )
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
2 2
5 .已知椭圆 ： 4 + 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，设 为坐标原点， 为 上一点，若△ 1 2的面积
3
为2，则| | =( )
A. 13 B. 17 192 2 C. 2 D. 2 2
6.函数 ( ) = 10( + 1) + 1 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.设直三棱柱 1 1 1的所有顶点都在一个球面上， = = 1，∠ = 120°，且底面△
的面积为 2 3，则此直三棱柱外接球的表面积是( )
A. 16 B. 40 10 3 C. 40 D. 64
8.在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.一个函数的极大值一定大于极小值
B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点
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C.函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到
D.若函数 ( )在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 ′( ) > 0
10.下列说法正确的是( )
A.若| | = 2，| | = 2，则 >
B.在△ 中，若 = ， = 4，则 = 8
C.已知向量 = (2, 1)， = ( , 1)， 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是( ∞, 2) ∪ ( 2, 12 )
D.已知 ， ， 为△ 的内角 ， ， 的对边，则“ > ”的充要条件是“ > ”
11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双
2 2. = 1( > 0) 2 3曲线的另一个焦点已知双曲线 ： 6 的离心率为 3 ，左、右焦点分别为 1， 2，点
( 0, 0)(
6
0 > 0)在 上，点 ( , 0)，点 (0, )在直线 上，则下列说法正确的是( )0
2 2
附：双曲线 0 0 2 2 = 1( > 0, > 0)在其上一点( 0, 0)处的切线方程为 2 2 = 1．
A. | 1 2| = 2 2
B. 0 = 2
C.作 1 ⊥ 于点 ，则| | = 6( 为坐标原点)
D.若 2的延长线交 于点 ，则△ 1 的内心在定直线上
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.若向量 = (2, 1), = ( , 1)，且 // ，则 = ______．
13.函数 = 3 2 3 2 的单调递增区间是______．
14.在平面直角坐标系 中，将函数 ( )的图象绕坐标原点逆时针旋转 (0° < < 180°)后，所得曲线仍然
是某个函数的图象，则称 ( )为“ 旋转函数”.则 = 2 ______90°旋转函数(填：“是”或者“不是”)；若
( ) = 是 45°旋转函数，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面， ⊥ ， ， 分别是 1 1， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 1 1；
(2)当 = = 1 = 2，求异面直线 与 1所成角正弦值．
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16.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 2 3 + 1 23 2 6 + 4．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)求 ( )在区间[0,3]上的最大值．
17.(本小题 12 分)
设 ( 1, 1)， ( , )是抛物线 ： 22 2 = 2 ( > 0)上异于原点 的两点，且 = | |2 | |2，直线
与 轴相交于 ．
(1)若 ， 到 轴的距离的积为 4，求抛物线 的准线方程；
(2) | |是 轴上的点，直线 与抛物线交于另一点 ，直线 与 轴相交于 ，若 = 3 ，求| |．
18.(本小题 12 分)
2025 年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，
一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技，受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的
3
精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有5的学
生学过围棋，将频率视为概率．
(1)从已报名选手中任取 3 名学生，记其中学过围棋的学生数为 ，求 的分布列与数学期望 ( )；
(2)经过海选，最终决定 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决
赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进
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入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军.已知 2～ 8这 7 位棋手互相对弈时，获胜概率
1 3
均为2， 1棋手与其他棋手对弈时， 1获胜的概率为4，每局对弈结果相互独立，无和棋情况．
(ⅰ)求棋手 2最终夺冠的概率；
(ⅱ)求棋手 2与 1有过对弈且最终 2获得亚军的概率．
19.(本小题 12 分)
设等比数列： ， 1， 2， ， ， ， 1， 2， ， ， 的公比为 ，其中 ， 都为正奇数， ， ， 构成
单调递增的正项等差数列．
(1)求证：| | > 1；
(2)求证： > ；
(3)把 1 2 1 2 用 ， ， ， 表示．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.[ 6 , +

3 ]， ∈
14.是 [ 2 3, 0]
15.(1)证明：
在三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面，
即 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1，
则 ⊥平面 1 1；
(2)由题意三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面， ⊥ ， ， 分别是 1 1， 的中点，
可取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， 分别是 1 1， 的中点，
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1
所以 // 且 = 2 ， 1// 且
1
1 = 2 ，
故得 // 1且 = 1，所以四边形 1 为平行四边形，
所以 // 1，故∠ 为异面直线 与 1所成角，
又 = = 1 = 2，则 = 1，
由(1) ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，故 AB⊥ 1，
因 // 1，则 ⊥ ，
又 = 22 + ( 2)2 = 6，所以 sin∠ =
= 1 6 =
6
，
6
故异面直线 与 1所成角的正弦值为
6．
6
16.(1)由题意得 ′( ) = 2 2 + 6 = ( + 2)(2 3)，
由 ′( ) > 0 3，可得 < 2 或 > 2，由 ′( ) < 0，可得 2 < <
3
2，
3
故函数 ( )的单调递增区间为( ∞, 2)和( 2 , + ∞)
3
，单调递减区间为( 2, 2 )；
(2)由(1)已得函数 ( )在( 2, 3 32 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
因 ∈ [0,3]，则函数 ( )在(0, 32 )
3
上单调递减，在( 2 , 3)上单调递增，
又 (0) = 4, (3) = 23 × 3
3 + 12 × 3
2 6 × 3 + 4 = 172，
17
故当 = 3 时，函数 ( )取得最大值为 2．
17.解：(1)根据题目：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上异于原点 的两点，
且 = | |2 | |2，直线 与 轴相交于 ．
由 = | |2 | |2，得( 2 2 2 22 1, 2 1) ( 1, 1) = ( 2 1) + ( 2 1) ( 2 + 2)，
2 = 2 2 2
整理得 1 1 1 21 2 + 1 2 = 0，又 ，则 + = 0， 22 = 2
2 1 2
2 4
而 1 2 ≠ 0，因此 1 2 = 4 2，由 ， 到 轴的距离的积为 4，得| 1|| 2| = 4，则 = 1，
1
所以抛物线 的准线方程为： = 2．
(2)设 ( , 0)， ( 3, 3)， ( , 0)， ( , 0)，
由 = 3 ，得 3 = 3 2，
= +
设直线 方程为： = + ，由 2 2 = 2 消去 得 2 2 = 0，则 1 2 = 2 ，
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设直线 的方程为： = + ，同理得 1 3 = 2 ，则 3 1 2 = 2 ，
所以 = 3 | | | |，| | = | | = 3．
18.(1) 3由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为5，
随机抽取 3 人， 表示 3 人中学过围棋的学生人数，
3
则 可能的取值为 0，1，2，3，且 ～ (3, 5 )，
( = 0) = 0( 3 )0( 2 )3 = 8 1 3 1 2所以 23 5 5 125； ( = 1) = 3( 5 ) ( 5 ) =
36
125；
( = 2) = 23(
3 )2( 2 )1 = 545 5 125；
( = 3) = 3( 3 )3( 2 0 273 5 5 ) = 125．
则 的分布列为：
0 1 2 3
8 36 54 27
125 125 125 125
3 9
所以 ( ) = 3 × 5 = 5．
(2)(ⅰ)由题意得： 1～ 8八名运动员各自夺冠的概率之和为 1， 2～ 8夺冠概率相同，
3 27 1 27 371夺冠的概率为( 4 )
3 = 64，即 2最终夺冠的概率为7 (1 64 ) = 448．
(ⅱ)记事件 =“ 2获得亚军”，事件 =“ 2与 1对弈过”，
事件 =“ 2与 1在第 轮对弈”，( = 1,2,3)
则 ( ) = ( 1) + ( 2) + ( 3).
不妨设 1在①号位，则
. 2在第 1 轮能与 1对弈的位置编号为②，
则 ( 1 3 1 1 11) = 7 (1 4 ) 2 2 = 112；
. 2在第 2 轮能与 1对弈的位置编号为③或④，
2 3 1 3 1 3
则 ( 2) = 7 4 2 (1 4 ) 2 = 224；
. 2在第 3 轮能与 1对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧
则 ( ) = 43 7
3 14 2
3 1 3 274 2 4 = 448；
综上所述： ( ) = 1 + 3112 224 +
27 37
448 = 448．
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19.解：(1)证明：等比数列： ， 1， 2， ， ， ， 1， 2， ， ， 的公比为 ，
其中 ， 都为正奇数， ， ， 构成单调递增的正项等差数列，

由题意知 +1 = ，又 > > 0，可得
+1 = > 1，
∴ | | +1 > 1，∵ + 1 是正偶数，∴ | | > 1．
(2)证明：设等差数列 ， ， 的公差为 ，
+
由题意得 +1 = = ，
+1 = +2 = + ，
2
又 > 0， > 0 + +2 ，故 + = ( + ) > 0，
+ +2 +2
可得 > + ，又 + > 0，又 + 1， + 1 都为正偶数，
∴ +1 > +1 > 0，即| | +1 > | | +1，
又由(1)的结论得，| | > 1，
∴ + 1 > + 1，∴ > ．
(3)设 + + 3 个数所构成的等比数列为{ }，
+ 则 1 = ， +2 = = 2 ， + +3 = ，
由 + +4 = 1 + +3 = ( = 2,3,4, , + + 2)，可得：
( 1 2 )2 + +2 = ( 2 + +2)( 3 + +1) ( + +1 2)( + +1 + +2 2) = ( ) ，
又 +1 = > 0，
+1 = > 0，由 ， 都为正奇数，
则 既可为正数，也可为负数．
+ +1 + +1
若 2为正数，则 2 3 + +2 = ( ) 2 ，插入的 + 个数的乘积为 2 + ( ) ；
+
若 为负数， 2， 3， ， + +2中 2， 4， ， + +2为负数，即共有 2 + 1 个负数，
+ + +1 + + +1
∴ 2 3 + +2 = ( 1) 2
+1( ) 2 ，所插入的 + 2个数的乘积为 2 +1 2 + ( 1) ( ) ，
+ +1
∴当 + = 4 2( ∈ ) + 2时，所插入 个数的积为 2 + ( ) ，
2 + +1
当 + = 4 ( ∈ )时，所插入 + 个数的积为 ( ) 2 + ．
2 + +1
综上所述，当 为正数时， 1 2 1 2 为 2 + ( ) ，
+ +1
当 为负数时， 1 2 1 2
2
为 2 + ( ) ．
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