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2024-2025学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
3.某县有高中生人，初中生人，小学生人，幼儿园学生人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为人，则抽出的幼儿园学生人数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
6.已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知点是边长为的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. 事件与事件对立 D. 事件与事件不相互独立
10.在中，，为中点，，以下结论正确的是( )
A. 若，则 B. 的面积的最大值是
C. D. 的周长可能是
11.在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 直线与所成的角为
C. 若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为
D. 过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校位同学参加数学竞赛的成绩单位：分为：，，，，，，，，，，则这个数据的第百分位数为______．
13.设复数，满足，且，则 ______．
14.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
求向量在向量方向的投影向量的坐标；
若，求实数的值；
若与所成的角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
从三明市某高中学校名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为．
求第六组的频率；
估计该校男生身高的中位数；
从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求事件的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面平面；
若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，与：，，，，其中，若同时满足：
两个点列的起点和终点分别相同；
，其中，，，．
则称与互为正交点列．
判断：，，与：，，是否互为正交点列，并说明理由；
已知：，，，与：，，，互为正交点列．
求；
若的横、纵坐标都取自集合，写出所有符合条件的有序整点列．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，，
所以在方向的投影向量为．
已知平面向量，，
则，，
因为，
所以
即，
解得．
已知平面向量，，
则，
因为与所成的角为锐角，
所以，且与不共线，
由，
解得，
当与共线时，
由，
解得，
因为与不共线，
所以，
综上所述：实数的取值范围为．
16.因为第七组的人数为，所以第七组的频率为，
则第六组的频率为．
设这所学校男生的身高中位数为，
因为，
，所以，
由，解得，
所以这所学校男生身高的中位数为．
样本身高在第六组的人数为，设为，，，，
样本身高在第六组的人数为，设为，，
则从中随机抽取两名男生有：，
共种情况，即，
当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生，
所以事件包含的基本事件为，
共种情况，即，
根据古典概型概率公式得．
17.证明：平面，平面，，
，，又，，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
过点作交于点，连接，
则与平面所成角即为与平面所成角，
平面，为在平面上的射影，
为直线与平面所成角，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
在中，，
在中，，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.由正弦定理化简已知等式可得，
可得，
可得，
又，
可得，
又，
可得；
由于，可得，
可得，可得，
同理可得，
可得点是的垂心，
又，可得，
在中，可知，
由余弦定理得，
可得，
可得，
即，即，当且仅当时等号成立，
所以，即的周长的最大值为．
19.依题意可得，
所以，
所以，
又与的起点和终点分别相同，所以与互为正交点列．
解法一：因为与互为正交点列，所以，，
设，，
所以，
又因为，
，
所以，即，
所以，
所以．
解法二：(ⅰ)依题意可得，
因为与互为正交点列，
所以可设，
，
由，得，解得，
所以．
(ⅱ)因为，，
又由(ⅰ)可知，
所以或或或或，
当时，，，三点共线，不合题意，舍去，
当时，由，得，
所以，
此时：，，，，
当时，由，得，
所以，
此时：，，，，
当时，由，得，
所以，
此时，，三点共线，不合题意，舍去，
当时，由，得，
所以，
此时：，，，，
综上所述，符合条件的点列有：，，，，
：，，，，
：，，，．
：，，，；
：，，，．
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