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2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据，，，，的平均数为，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B.
C. D. ，
5.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，为其前项的和，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是第四象限角，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为等比数列的前项和，为的公比，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. 当时，
C. 是极大值点 D. ，当且仅当
11.已知双曲线的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点为第一象限的交点，为坐标原点，则( )
A. B.
C. ，的离心率为 D. 四边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，，若，则______．
13.设函数，若的两个极值点为，，且，则实数的值为______．
14.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，．
求；
设函数，求的值域和单调区间．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求的方程；
过左焦点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求．
17.本小题分
如图，四棱锥中，已知，，，底面，平面平面．
证明：平面；
若四棱锥的底面为直角梯形，，，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知函数的零点为，．
证明：是的零点；
讨论方程的解的个数；
已知存在唯一零点，比较与的大小．
19.本小题分
为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表：
性别 关注度 合计
关注 不关注
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量的最小值；
该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得分，失败者扣除分；方案二：最终获胜者得分，失败者得分若每局甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大；
经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注初始比例关注航天事业的学生比例为，记第年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列．
附：
，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意得，结合，可得；
由得，，
所以，
根据，可得的值域为，
令，解得，
所以的单调递增区间为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，，
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
16.解：已知椭圆的离心率为，短轴长为，
则，
解得，
所以的方程为；
已知过左焦点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，
因为，设直线的方程为，，，
又，
所以，
所以，整理得，
可得，
则，
则，
即，
即．
17.证明：过作交于，
由平面平面，平面平面，平面，得面
又平面，故AE，
由底面，底面，故，
因为，，平面，
故CD平面；
因为底面，，底面，
所以，，
又，即，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
所以∽，
所以，所以，，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，则，
则，则，
取，，则，，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
18.证明：的定义域为，
又的零点为，
，又，
，
是的零点
由，，
令，，
令，，
由有，有，
在单调递减，在单调递增，
，
当时，，当时，，
当时，，
作出的图像：
当时，解为个；
当或时，解为个；
当时，解为个．
由知，在单调递增，
有唯一的解，
在单调递增，，，
，
故，
令，
，
当时，，
在上单调递增，
，
，
，又在单调递增，
．
19.，
因此，因此，
由于为的整数倍，因此样本容量的最小值为；
甲赢得比赛的概率为，
方案一的分布列为：
方案二的分布列为：
因此；，
因此，
因此，
因此单调递增，
因为时因此，因此，
因此选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大；
证明：，，
因此，且，因此为等比数列．
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