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2024-2025学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面个景点中选择个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，若的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售额如下表：
年份
年份代号
销售额万元
若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店年“五一”黄金周的销售额是( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
7.已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，，则
B. 若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强
C. 若随机变量的分布列为，则
D. 若随机变量，随机变量，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. B. 是函数的一条对称轴
C. D. 函数在区间上单调递增
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，为的极值点
B. 存在，使得在有且仅有一个零点
C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是______用数字作答
13.年开始，贵州省实行新高考“”选科模式，它是指考生需要参加三门全国统一高考科目，即语文、数学、外语此外，考生还需在物理和历史两门科目中选择一门作为首选科目，以及在思想政治、地理、化学、生物学四门科目中选择两门作为再选科目；赋予了学生充分的自由选择权已知黔南州某三所中学分别有，，的学生选了物理，这三所中学的学生人数之比为：：，现从这三所中学随机选取一名学生，则这名学生选了物理的概率为______．
14.已知函数且，，若函数与的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，为棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分在这个节日中，粽子备受喜爱粽子是用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵由于地域饮食文化差异，南方与北方居民对粽子口味偏好甜粽咸粽存在显著差异为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽样的方法，从全国代表性的城市选取居民人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好甜粽咸粽，并记录其居住地域南方北方将调查数据整理如下表：
甜粽 咸粽 合计
南方居民
北方居民
合计
完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“居民地域南方北方”与“粽子口味偏好甜粽咸粽”是否有关；
用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取人，记为其中偏好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求的分布列、数学期望和方差．
附：，．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为．
求双曲线的标准方程．
若直线：与双曲线交于不同的两点，点，均在第一象限，且点在点上方，直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，．
判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
若，求的值．
19.本小题分
物理学家牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程的近似解为止已知函数，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到．
求的单调区间；
设初始点为，按上述算法，求方程的一个近似根；精确到
若对任意，恒成立，求整数的最大值．
参考值：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.已知数列的前项和为，且，，
当时，；
当时，，
验证，当时，，符合，
综上，数列的通项公式为．
令，
则．
16.证明：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，，，，
，，．
因为，，
所以，，
因为，平面，，
所以平面．
由得是平面的一个法向量，．
设直线与平面所成的角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为．
17.完成列联表，如下：
甜粽 咸粽 合计
南方居民
北方居民
合计
零假设为：“居民地域南方北方”与“粽子口味偏好甜粽咸粽”无关，
所以．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“居民地域南方北方”与“粽子口味偏好甜粽咸粽”有关．
南方居民偏好甜粽的概率为．
，，，，，
，，
，，
因此，．
18.因为双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为，
所以，，
解得，，
则双曲线的标准方程为；
设，
此时，，
所以，
则的定值为；
联立，消去并整理得．
此时且，
解得且，
设，，
由韦达定理得，
所以．
由得，
即，
可得，
所以，
解得．
因为，两点均在第一象限，
所以，
则．
综上所述，当时，．
19.函数的定义域为，，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
设在点处的切线为：，
令，则，
由，则，
所以方程的一个近似根为；
在处切线方程为，
令，得，，
不等式，
令，则，
由知，，，
则存在，使得，即，
当时，，当时，；
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，，
则，整数的最大值为，
所以整数的最大值为．
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