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2024-2025学年甘肃省白银市多校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的实部为( )
A. B. C. D.
2.若服从两点分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
5.设正四面体的棱长为，是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某校当天的新增感冒人数与温差单位：的组数据如下表：
由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙三人各自计划去甘肃白银旅游，他们在月日到月日这三天中的一天到达白银市，他们在哪一天到达白银市相互独立，且他们各自在月日到月日到达白银市的概率如表所示．
到达日期 月日 月日 月日
若甲、乙两人同一天到达白银市的概率为，乙、丙两人同一天到达白银市的概率为，甲、丙两人同一天到达白银市的概率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数，则( )
A. 的值域为 B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线对称 D. 函数为奇函数
9.已知函数，则( )
A. 的极小值点为
B. 的极小值为
C. 当恰有个零点时，的取值范围是
D. 当恰有个零点时，的取值范围是
10.，，，，五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外人中的人第次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为______．
12.某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量单位：服从正态分布，且，则______若购买袋这种低钠盐，则这袋低钠盐中质量在之间的袋数的方差为______．
13.已知圆：与曲线的公切线为直线，则圆的半径为______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
研究者发现多看电视易使人变冷漠，下表数据单位：人是一个调查机构在某社区对此现象的调查结果：
冷漠 不冷漠 合计
多看电视
少看电视
合计
试问能否有的把握认为多看电视与人变冷漠有关系？
若从被调查的多看电视的人中任选人，求这人中至少有人不冷漠的概率．
附：，．
15.本小题分
某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖价值元的消费券的概率为，获得二等奖价值元的消费券的概率为，获得三等奖价值元的消费券的概率为，未获奖则无消费券．
求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率；
若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率；
若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，为棱的中点．
若，证明：E.
设，，，且点到平面的距离为，求的值．
17.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点．
求的方程．
直线：与交于，两点．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若对恒成立，求的取值集合；
设，，，，，，，，证明：．
参考答案
1.
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3.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.零假设：多看电视与人变冷漠没有关系，
则，
所以有的把握认为可以推断假设不成立，
即有的把握认为多看电视与人变冷漠有关系；
根据题意可得这人中至少有人不冷漠的概率为．
15.每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为；
这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为；
依题意可得的可能取值为，，，，
的分布列为：
则，
．
16.解：证明：在直四棱柱中，底面为矩形，为棱的中点，连接，，
由题意，可得，
由于底面，则，
由于，平面，
可得平面，
又由于平面，
可得，得证；
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，，
可得，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则
令，得，
由，，
可得，
因为点到平面的距离为，可得，
解得或．
17.若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为，
因为椭圆过，两点，
所以，解得，符合题意，则椭圆方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为，
因为椭圆过，两点，
所以，解得，不符合题意．
所以的方程为．
联立，消去得．
，化简得．
因为，所以，解得，
所以的取值范围为．
设，，则．
所以
，
化简得，
即，
即，解得，
所以的取值范围为．
18.当时，，
导函数，那么，
因此在点处的切线为．
由于函数，因此导函数，
又由于，恒成立，因此是的极小值点，
那么，可得．
当时，导函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故的取值集合为．
证明：根据第二问知，所以，
则，
因为，所以．
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