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2024-2025学年河南省普通高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.现有名男志愿者和名女志愿者报名参加第届文博会的服务工作，从这名志愿者中随机抽取人安排在文博会的展区工作，则抽取的名志愿者中有一男一女的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.为测量河流对岸某“”信号塔的塔顶信号源到地面的距离，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线，且测得，在基点，以及的中点处分别测得塔顶信号源的仰角为，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是随机事件，且，，则下列命题正确的有( )
A. 与可能为互斥事件
B. 若，则与相互独立
C. 若，则
D. 若与相互独立，则
10.已知函数的部分图象如图，且点，在的图象上，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 在上的值域为
11.如图，已知梯形是圆台的轴截面，，，，分别是弧和母线的中点，，则下列结论正确的有( )
A. 圆台的体积为
B. 异面直线与所成角的正弦值为
C.
D. 平面与平面所成二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ______．
13.已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为______．
14.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题已知个样本数据的均值为，方差为，则这个样本数据的中位数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位．
求复数；
若是方程的根，求，的值．
16.本小题分
某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了名学生的测试成绩单位：分，这名学生的成绩分布在区间内，并分成组：第组为，频数；第组为，频数；第组为，频数；第组为，频数；第组为，频数，绘制成如图所示的部分频率分布直方图．
请将频率分布直方图补充完整；
估计这名学生成绩的分位数．
17.本小题分
已知函数．
比较，的大小关系；
证明：函数的图象关于直线对称；
若关于的方程有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
已知为的平分线，且交于点．
(ⅰ)若，求的取值范围；
(ⅱ)若点满足，求的值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面平面；
若，，三棱锥的外接球为球．
(ⅰ)证明：，，，四点共面；
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.在复平面内对应的点为，则，所以；
由可得是方程的根，
则是方程的另一复数根，
所以，，即，．
16.根据题意可知，第五组为，频数为，
第五组的频率为，，
频率分布直方图如图：
设这名学生成绩的分位数为，
前组频率之和为：，
前组频率之和为：，
这名学生成绩的分位数落在第组内，
，这名学生成绩的分位数为．
17.函数的定义域为，
由题可得，．
证明：因为，
，
所以，
所以函数的图象关于直线对称；
因为方程有解，
令，则在上有解，
因为，
所以时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，
所以或，即实数的取值范围为．
18.由，可得，
则由余弦定理得，
又，所以；
在中，由正弦定理得，
则，
所以
，
因为，所以，
所以，则，
所以；
(ⅱ)因为，所以，
因为为的平分线，所以，则，
又，
，
所以
，
所以，
，
所以．
19.解：证明：因为，，分别为，，的中点，
所以，，
因为，平面，，平面，
所以平面，平面，又，
所以平面平面；
证明：取中点，连接，
因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，且，
设外接圆圆心为，半径为，
则，
所以，
所以，
所以点即为球心，
所以，，，四点共面；
(ⅱ)由(ⅰ)可得，
在中，，
在中，
在中，，
故，
设到平面的距离为，
则，
又，
所以，
设直线与平面所成的角为，
故．
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