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2024-2025 学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2 1 2 )
5展开式中的常数项为( )
A. 5 B. 5 C. 80 D. 80
2.已知随机变量 ～ (80, 2)，且 ( ≥ 120) = 0.21，则 (40 < < 80) =( )
A. 0.21 B. 0.29 C. 0.71 D. 0.79
3.离散型随机变量 的分布列如下：
1 2 3 4
0.3 0.2
若 ( ) = 2.7，则下列结论错误的是( )
A. + = 0.5 B. (3 1) = 7.1 C. ( ) = 0.81 D. ( > 2) = 0.5
4.某地区从教育、医疗、卫生、环保四个领域中遴选 6 个提案提交审议，若每个领域至少有一个提案，则
教育领域至少有 2 个提案的概率为( )
A. 3 2 1 310 B. 5 C. 2 D. 5
5.函数 ( ) = 的单调减区间是( )
A. ( 1 12 , + ∞) B. (0, 2 ) C. (1, + ∞) D. (0,1)
6.北京市某高中高一年级 5 名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐
诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数
为( )
A. 60 B. 90 C. 150 D. 240
7.函数 ( ) = 2 + 2 的极值点的个数( )
A.无数个 B. 2 C. 1 D. 0

8 ( ) = + 2 , > 0.若函数 ( 1) + 3 2, ≤ 0在( ∞, + ∞)上是单调函数，则 的取值范围是( )
A. [1, + ∞) B. (1,3] C. [ 12 , 1) D. (1,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的有( )
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A.相关系数 越小，表明两个变量相关性越弱
B.决定系数 2越接近 1，表明模型的拟合效果越好
C.若随机变量 服从两点分布，其中 ( = 0) = 23，则 (3 + 2) = 3， (3 + 2) = 4
D.随机变量 ～ (3, 2)，若 ( ≤ 5) = 0.7，则 ( ≤ 1) = 0.3
10.已知(2 )5 = 0 + 1 + 2 2 + … + 55 ，则( )
A. 0 = 32 B. 1 + 2 + … + 5 = 1
C. 2 = 80 D. 1 2 + 3 4 + 5 = 211
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + 3 + 1( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.曲线 = ( )在点(0,1)处的切线方程为 = 3 + 1
B.当 = 3 时， = 1 是 ( )的极值点
C.存在实数 ，使得 ( )的图象关于点(0,1)对称
D.若 ( ) [ 1在区间 2 , 3]内存在极值点，则 的取值范围是( 5, 3)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 + .已知函数 ( ) = ，若 ′(1) = 2，则 = ______．
13 1 .已知函数 ( ) = 3 23 2 + 2 + 5，若函数 ( )在( 2, 1)上单调递减，则实数 的取值范围为______．
14.已知 1，
1
2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为2，该同
学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量 ，则 ( ) =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = + ．
(1)若 = 2，求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)求函数 ( )在[1, ]上的单调区间和最小值．
16.(本小题 15 分)
若(1 3 )8 = 0 + 2 31 + 2 + 3 + 4 4 + 5 5 + 66 + 7 7 + 8 8，请求值：
(1) 0；
(2)| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7| + | 8|；
(3) 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8．
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17.(本小题 15 分)
某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取
一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续 5 天的售出和收益情况，如下表：
售出水量 (单位：箱) 7 6 6 5 6
收益 (单位：元) 165 142 148 125 150
(1)求收益 关于售出水量 的回归直线，并计算每天售出 8 箱水时预计收益是多少元？

= =1

附： 2 2 , = , = 6, = 146,
5 5 2
=1
= 4420, =1 = 182
=1
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生
考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级前 201～500 名，获二等奖学金 300 元；考入年级 501
2 1
名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为5，获二等奖学金的概率为3，不获得奖学金的
4
概率为15 .求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率．
18.(本小题 17 分)
向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能
中的文生视频模型 (以下简称 )，能够根据用户的文本提示创建最长 60 秒的逼真视频.为调查
的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了 150 名视频从业人员进行调查，
结果如表所示．
视频从业人员
的应用情况 合计
减少 未减少
应用 54 18 72
没有应用 36 42 78
合计 90 60 150
(1)根据所给数据，判断是否有 99.9%的把握认为 的应用与视频从业人员的减少有关？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)某公司视频部拟开展 培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
2 1 1
3，2，3，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用 ．
①求员工经过培训能应用 的概率；
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②已知开展 培训前，员工每人每年平均为公司创造利润 6 万元；开展 培训后，能应用 的员工
每人每年平均为公司创造利润 10 万元； 培训平均每人每年成本为 1 万元.视频部现有员工 100 人，根
据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展 培训，现要求
培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = 2 + ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若 ( ) + 2 ≤ ( )对任意的 ≥ 1 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.( ∞, 3]
14. 316
15.解：(1) = 2 2时， ( ) = + ，则 ′( ) =
1 2 2，
故 ′(1) = 1 2 = 1， (1) = 1 + 21 = 2，
故切线方程为 2 = ( 1)，即 + 3 = 0．
(2) ( ) = 1 = ′ 2 2 且 ∈ [1, ]，
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )的增区间为[1, ]， ( ) = (1) = ；
当 1 < < 时，当 1 < < 时， ′( ) < 0，当 < < 时， ′( ) > 0，
所以 ( )的减区间为[1, ]，增区间为[ , ]， ( ) = ( ) = 1 + ；
当 ≥ 时， ′( ) ≤ 0，所以 ( )的减区间为[1, ]， ( ) = ( ) = 1 +

．
16.解：(1)令 = 0 得 0 = 1；
(2)| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7| + | 8|等于(1 + 3 )8的展开式的各个项系数的和，
令 = 1 代入(1 + 3 )8，
则| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7| + | 8| = (1 + 3 × 1)8 = 48 = 65536．
(3)令 ( ) = (1 3 )8 = 0 + 1 + 2 3 4 5 6 7 82 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ，.
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则 ′( ) = 8 × (1 3 )7 × ( 3) = 24 × (1 3 )7，
且 ′( ) = 1 + 2 2 3 4 5 6 72 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 ，
令 = 1，则 ′(1) = 24 × (1 3 × 1)7 = 3072，
且 ′(1) = 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8，
所以 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 = 3072．
17. 解：(1)由题意可知， = 6， = 146，5 =1 = 4420，
5 2 =1 = 182，
5

=1 5 = = 4420 5×6×146所以 5 2 2 2 = 20， =1 5 182 5×6

所以 = = 146 20 × 6 = 26，

所以 = 20 + 26，

当 = 8 时， = 20 × 8 + 26 = 186，
即每天售出 8 箱水的预计收益是 186 元；
(2)设事件 为“学生甲获得奖学金”，事件 为“学生甲获得一等奖学金”，
则 ( ) = 2 + 1 = 115 3 15， ( ) =
2
5，
2
所以 ( | ) = ( ) 5 6 ( ) = 11 = 11，
15
6
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为11．
18.解：(1)零假设为
0： 的应用与视频从业人员的减少无关，
150×(54×42 36×18)2 675
则根据列联表中数据可得 2 = 72×78×90×60 = 52 ≈ 12.981 > 10.828 = 0.001，
所以根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，可以推断出 0不成立，
即有 99.9%的把握认为 的应用与视频从业人员的减少有关；
(2)①设 =“员工经过培训能应用 ”，
2 1 1
因为每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为3，2，3，每轮相互独立，
又有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用 ，
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1
所以 ( ) = 3 × 2 × 3 + (1 3 ) × 2 × 3+ 3 × (1 2 ) × 3+ 3 × 2 × (1 3 ) = 2，
1
所以员工经过培训能应用 的概率为2；
②设视频部调 人至其他部门， ∈ ， 为培训后视频部能应用 的人数，
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则 (100 , 12 )
100
，所以 ( ) = 2 ，
100 1
调整后视频部的期望年利润为： 2 × 10 + (1 2 )(100 ) × 6 (100 ) = 700 7 (万元)，
令 700 7 ≥ 100 × 6 ≤ 100，解得 7 ≈ 14.3，又 ∈ ，所以 = 14，
因此视频部最多可以调 14 人到其他部门．
2
19.解：(1) ′( ) = 2 + 1 =
2 +1
， > 0，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，则 2 2 + 1 = 0，
若 = 2 8 ≤ 0，即 0 < ≤ 2 2时， ′( ) ≥ 0 恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
若 = 2
2
8 > 0，即 > 2 2时，方程 2 2 + 1 = 0 的根为 = ± 84 ，
2 2
当 ′( ) > 0 时，0 < < 8 > + 84 或 4 ，
2 8 + 2 8
所以 ( )在(0, 4 )和( 4 , + ∞)上单调递增；
( ) < 0
2 8 2
当 ′ 时， 4 < <
+ 8
4 ，
2 2 ( ) ( 8 , + 8所以 在 4 4 )上单调递减．
综上所述，当 ≤ 2 2时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
2
> 2 2 ( ) (0, 8
2
) ( + 8
2 2
当 时， 在 4 和 4 , + ∞) (
8 , + 8上单调递增，在 4 4 )上单调递减．
(2)令 ( ) = = 0，则 = ，
令 ( ) = ，则 ′( ) = ，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
又当 0 < < 1 时， ( ) = ( 1) < 0，且 (1) = 1，
当 > 1 时， ( ) = 0，
所以当 0 < < 时， ( )先减后增，且在 = 1 处有最小值 1，
此时直线 = 与 ( ) = 有两个交点，
所以实数 的取值范围为( 1,0)．
(3)因为 ( ) ( ) 2 ≥ 0，即 2 + + ≥ 0，
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即 ( 1) ( 1) ≥ ( 1)，对 ∈ [1, + ∞)恒成立，
当 = 1 时，上式显然成立，
当 > 1 时，上式转化为 ≤ ，
令 ( ) = ， ∈ (1, + ∞)，
∴ ′( ) = 1 1 = 1 > 0，
所以函数 ( )在 ∈ (1, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) > (1) = 1，
∴ ≤ 1，
综上所述，实数 的取值范围为( ∞,1]．
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