资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八年级上数学第2章 特殊三角形 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．若，则a＝b
3．如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
（第3题） （第5题） （第8题）
4．若等腰三角形中有一个角等于36°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　)
A．36° B．72° C．108°或36° D．108°或72°
5．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．11 B．7 C．15 D．15或7
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（　　）
A．10 B． C．10或 D．7
8．如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（　　）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
9．如 图，已 知△ABC 中，∠BAC>90°，点 D 为 BC 的中点，点 E 在AC 上，将△CDE 沿 DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点 F 处，连接AD，则下列结论不一定正确的是(　　).
A．AE=EF B．AB=2DE
C．△ADF 和△ADE 的面积相等 D．△ADE 和△FDE 的面积相等
（第9题） （第10题）
10．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知直角三角形两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形斜边上的中线长为　 　.
12．等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为　 　cm．
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，　 　．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 　 　个．
15．如图，中，，平分交于点D，过点A作交的延长线于点E．若，的周长为，的面积为，则　 　．
16．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
18．如图，，，，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求BE的长．
19．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为．
（1）请你在图中画一个以格点为顶点，面积为的等腰三角形；
（2）请你在图中画一个以格点为顶点，有一条直角边长为的直角三角形．
温馨提示：请画在答题卷相对应的图上
20．在中，，点E在AB上，点D在BC上，，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
21．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，连接AE，请直接写出图中所有面积等于△ABC面积一半的三角形．
22．如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
（1）求的度数．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，，求的长．
23．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形.
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝2，则BD长为　 　，∠B的度数为　 　.
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB.当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线.
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC2＝80.若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积.
24．如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接．
图1 图2
（1）如图1，求的度数；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为　 　（用含的式子表示）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八年级上数学第2章 特殊三角形 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
2．下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．若，则a＝b
【答案】D
【解析】A、∵命题“全等三角形的对应角相等 ”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”是假命题，∴A不符合题意；
B、∵命题“对顶角相等 ”的逆命题是“相等的两个角是对应角”是假命题，∴B不符合题意；
C、∵命题“两直线平行，同旁内角相等 ”的逆命题是“同旁内角相等，两直线平行 ”是假命题，∴C不符合题意；
D、∵命题“若，则a=b”的逆命题是“若a=b，则”是真命题，∴D符合题意；
故答案为：D.
3．如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定； 选项B是“”； 选项C是“”； 选项D是“”；
故答案为：B
4．若等腰三角形中有一个角等于36°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　)
A．36° B．72° C．108°或36° D．108°或72°
【答案】C
【解析】∵等腰三角形中有一个角等于36°，∴①若36°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为36°；
②若36°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-36°×2=108°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：36°或108°．
故答案为：C．
5．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
6．已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．11 B．7 C．15 D．15或7
【答案】B
【解析】当腰长为7时，底边长为29-2×7=15，三角形的三边长为7，7，15，7+7=14，不大于15，不能构成三角形，舍去；
当底边长为7时，腰长为（29-7）÷2=11，三角形的三边长为11，11，7，7+11＞11，能构成三角形，
所以等腰三角形的底边为7．
故答案为：B.
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（　　）
A．10 B． C．10或 D．7
【答案】C
【解析】当x为斜边时，根据勾股定理得：
x==10，
当x为直角边时，根据勾股定理得：
x=，
∴A，B，D错误，C正确.
故答案为：C.
8．如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（　　）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
【答案】A
【解析】∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
即2∠CBM+∠BAD+2∠C=180°，且∠BAD=120°
∴∠CBM+∠C=30°，
∴∠AMB=∠CBM+∠C=30°，
故答案为：A．
9．如 图，已 知△ABC 中，∠BAC>90°，点 D 为 BC 的中点，点 E 在AC 上，将△CDE 沿 DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点 F 处，连接AD，则下列结论不一定正确的是(　　).
A．AE=EF B．AB=2DE
C．△ADF 和△ADE 的面积相等 D．△ADE 和△FDE 的面积相等
【答案】C
【解析】连接CF，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF
∴BD=CD=DF，
∴△BFC是直角三角形：
∴∠BFC=90°，
∵BD=DF，
∴∠B=∠BFD.
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故A正确，
由折叠知，EF=CE.
∴AE=CE，
∵BD=CD
∴DE是△ABC的中位线
∴AB=2DE，故B正确，
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△FDE，
∴S△CDE=S△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故D正确，C选项不正确，
故答案为：C.
10．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵△ABC和△ECD均为等边三角形
∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°
在△ACD与△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE
∵∠BOD＝180°﹣∠EBC﹣∠CDA
∵∠BCE＝∠ACD＝120°
∴∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°.
∴∠AOB＝60°，
∵AF⊥BE于点F.OF＝1，
∴AF＝ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知直角三角形两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形斜边上的中线长为　 　.
【答案】
【解析】 ∵直角三角形两条直角边的长分别为和，
∴直角三角形的斜边长为：，
∵直角三角形中斜边上的中线长等于斜边的一半，
∴该直角三角形斜边上的中线长为．
故答案为：．
12．等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为　 　cm．
【答案】15
【解析】如图，AB＝AC＝30cm，∠B＝15°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∴CDACAB＝15cm．
故答案为：15．
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，　 　．
【答案】9
【解析】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：9．
14．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 　 　个．
【答案】8
【解析】【解答】如图所示
当AB=BC时，有C1和C2满足条件
当AB=AC时，有C3和C4满足条件
当AC=BC时，有C5和C6、C7、C8满足条件
综上，满足条件的C点有8个。
故填：8
15．如图，中，，平分交于点D，过点A作交的延长线于点E．若，的周长为，的面积为，则　 　．
【答案】4
【解析】在AB上截取BF=BC，连接DF，如图：
∵平分交AC于点D，
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴cm，
∴BC+CD=18cm，
∵的周长为，
∴cm，
∵的面积为，
∴
∴.
故答案为：4.
16．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍，∴设，则，，
如图，在上截取，连接，，
则，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
作射线，如图所示，
在中，，，，
取的中点，连接，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于，此时，最小，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
∴，
∵，是边上的中点，
，
，
．
（2）证明：平分，
，
∵，
，
，
．
18．如图，，，，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求BE的长．
【答案】（1）证明：，，，
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴，
又，，
∴即

19．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为．
（1）请你在图中画一个以格点为顶点，面积为的等腰三角形；
（2）请你在图中画一个以格点为顶点，有一条直角边长为的直角三角形．
温馨提示：请画在答题卷相对应的图上
【答案】（1）解：取格点，，，连接，，，如图：
即为所求
（2）解：取格点，，，连接，，，如图：
即为所求
20．在中，，点E在AB上，点D在BC上，，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
【答案】（1）证明：∵AB=BC
∴
在和△CEB中
∴
∴
∴，即
∴
（2）解：等腰三角形有，，，．
【解析】（2）∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
由（1）知
∴
∵
∴
∴∴是等腰三角形；
所以，等腰三角形有，，，．
21．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，连接AE，请直接写出图中所有面积等于△ABC面积一半的三角形．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC= ，，
∵CD=CE
∴
∴，即
∴
∴；
（2）解：∵BD是等边三角形ABC的中线
∴
由（1）得
又CD=CE
∴
∵DF⊥DE
∴∠FDE=90°
∴
∵
∴∠DFC=60°
∴是等边三角形
∴DF=FC=DC
∴DF=FC=DC=BF=CE
∴BC=EF
∴
∴
连接AF，则可得
∴
∴面积等于△ABC面积一半的三角形有：
22．如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
（1）求的度数．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．

23．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形.
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝2，则BD长为　 　，∠B的度数为　 　.
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB.当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线.
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC2＝80.若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积.
【答案】（1）；45°
（2） 解：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
∵△EDB是直角三角形，
∴△BEC是智慧三角形，ED是△EBC的智慧线；
（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H.
有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形.
∵BC2＝80，
∴BC＝4 ，
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2 ，
∴AH＝ ＝ ，
∵S△ABC＝ BC AH＝ AB CD，
∴CD＝ ＝4，
∴AD＝ ＝3，
∴S△BCD＝ BD CD＝ ×8×4＝16，
设CD′＝x，DD′＝y，
∴ ，
解得 ，
∴S△CBD′＝ × ×4＝ ，
综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或 .
【解析】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CD＝1，AC＝2，
∴AD＝
∵△ABC是智慧三角形，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝ ，∠B＝45°，
故答案为： ，45°
24．如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接．
图1 图2
（1）如图1，求的度数；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为　 　（用含的式子表示）．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠DBC＝α，
∴∠ABD＝60° α，∠ABE＝∠ADB＝∠ACB＋∠DBC＝60°＋α，
∴∠DBE＝∠ABE＋∠ABD＝（60°＋α）＋（60° α）＝120°.
（2）证明：在AB上截取BX＝AD，如图所示：
∵AD＝2BF，
∴BX＝2BF，
∴XF＝BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCX（SAS），
∴∠CXB＝∠ADB，CX＝BD，
∵∠ABD＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CXB，
∵∠BFE＝∠CFX，
∴△BFE≌△XFC（ASA），
∴BE＝CX，
∴BE＝BD.
（3）
【解析】【解答】（3）解：作∠DBW＝60°，截取BW＝BD，连接NW，DW，DW交BC于N'，在BA上截取BM'＝BN'，如图所示：
∴∠ABC＝∠DBW，△BDW是等边三角形，
∴∠MBD＝∠NBW，∠BDW＝60°，
∵BM＝BN，
∴△MBD≌△NBW（SAS），
∴DM＝NW，∠DMB＝∠BNW，
∴DN＋DM＝DN＋NW≤DW，
∴当N在N'处，M在M'处时，DM＋DN最小，
此时∠DM'B＝∠BN'W＝∠BDW＋∠CBD＝60°＋α．
故答案为：60°＋α．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1

展开更多......

收起↑