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浙教版2025-2026学年八年级上数学第5章 一次函数 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形的底边长为a，底边上的高线长为h，则三角形面积当a为定长时，有关常量和变量的说法，正确的是(　　).
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．a，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
2．点A(-2，y1)，B(3，y2)在一次函数的图象上，y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三
5．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（　　）
里程数 收费/元
3以下（含3） 8
3以上每增加1 1.8
A． B． C． D．
6．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数值y随自变量x的增大而增大
B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标是
D．函数的图象向下平移4个单位得的图象
7．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，该函数图象都经过点；③若，则函数图象经过一、二、三象限；④当时，原点到函数图象的距离为，其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
9．在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个一次函数，使其函数值随着自变量的值的增大而增大：　 　.
12．如果直线y＝2x＋m不经过第二象限，那么实数m的取值范围是　 　.
13．一次函数的图像向上平移3个单位后与y轴的交点是　 　．
14．已知函数.若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二，三，四象限，则不等式的解集为　 　.
15．对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为　 　.
16．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（2，0），B（0，2）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴，再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求对应的函数值y．
18．在平面直角坐标系中，点 是一次函数 图象上一点.
（1）求m的值.
（2）当 时，求y的取值范围.
19．一次函数的图象过点A(－1， 2)和点B(1，－4)
（1）求该一次函数表达式.
（2）若点P(m－1， n1)和点Q(m+1， n2)在该一次函数的图象上，求n1－n2的值.
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是-2．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB上有一点C，且，求点C的坐标．
21．已知：直线 和 （ 且 ）交于点 .
（1）若点 的横坐标为2，求 的值.
（2）若直线 经过第四象限，求直线 所经过的象限.
（3）点 在直线 上，点 在直线 上，当 时，始终有 ，求 的取值范围.
22．根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
23．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为　 　．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
24．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）．
（1）求直线AC的表达式和点B的坐标；
（2）作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．
①求△ABD的面积；
②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
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浙教版2025-2026学年八年级上数学第5章 一次函数 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形的底边长为a，底边上的高线长为h，则三角形面积当a为定长时，有关常量和变量的说法，正确的是(　　).
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．a，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
【答案】A
【解析】三角形面积当a为定长时，a为常量，也是常量，h与S是变量.
故答案为：A.
2．点A(-2，y1)，B(3，y2)在一次函数的图象上，y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在一次函数中
y随x的增大而增大，
又，
故答案为：C.
3．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数解析式为，
令，可得，
∴，
∴函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数图象与x轴交点的坐标为，
故答案为：D．
4．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三
【答案】A
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组无解，
∴直线y=(2-k)x+1与直线y=(2k+5)x+3无交点，
∴两直线平行，
∴2-k=2k+5，
解得：k=-1，
当k=-1时，一次函数y=-x+2，
∴y=kx+2的函数图象经过第一、二、四象限.
故答案为：A.
5．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（　　）
里程数 收费/元
3以下（含3） 8
3以上每增加1 1.8
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得，所付车费为：，
即．
故答案为：D．
6．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数值y随自变量x的增大而增大
B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标是
D．函数的图象向下平移4个单位得的图象
【答案】D
【解析】∵一次函数解析式为，，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，函数经过第一、二、四象限，故A、B不符合题意；
当时，，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是，故C不符合题意；
函数的图象向下平移4个单位得的图象，故D符合题意；
故答案为：D.
7．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，该函数图象都经过点；③若，则函数图象经过一、二、三象限；④当时，原点到函数图象的距离为，其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】①当，即时，函数是一次函数，故①结论正确；
②∵，当时，，
即无论k取何值，该函数图象都经过点，故②结论正确；
③若，则，，图象经过一、二、四象限，故③结论错误；
④当时，，如图，作于C，
令，则，令，则，
∴、，∴，，
∴，∴，
原点到函数图象的距离为，
故④结论正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：B．
8．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【答案】C
【解析】【解答】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，1175≤yA≤1425；1100≤yB≤1300；1075≤yC≤1225；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．
9．在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故答案为：D.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个一次函数，使其函数值随着自变量的值的增大而增大：　 　.
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵其函数值随着自变量的值的增大而增大，
∴该一次函数的自变量系数大于0，
∴该一次函数解析式为.
故答案为：（答案不唯一）.
12．如果直线y＝2x＋m不经过第二象限，那么实数m的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】已知直线y=2x+m不经过第二象限，
即函数在y轴上的截距为非正数，即m≤0.
13．一次函数的图像向上平移3个单位后与y轴的交点是　 　．
【答案】
【解析】一次函数的图像向上平移3个单位后，
相应的函数是，
当时，，
∴一次函数的图像向上平移3个单位后与y轴的交点是，
故答案为：．
14．已知函数.若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二，三，四象限，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【解析】在中，令，则x=-2，故的图象与轴交于（-2，0），
∵函数与的图象交于轴上的一点， 函数的图象经过第二，三，四象限
∴ 函数的图象大致如下：
由图象可知不等式的解集为；
故答案为：.
15．对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为　 　.
【答案】2或-2
【解析】因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
16．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（2，0），B（0，2）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴，再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为　 　.
【答案】（，）
【解析】如图所示，
∵点O关于AB的对称点是O′（2，2），
点A关于y轴的对称点是A′（-2，0）
设AB的解析式为y＝kx+b，
∵（2，0），（0，2）在直线上，
∴，解得k＝-1，
∴AB的表达式是y＝2-x，
同理可得O′A′的表达式是y＝+1，
两个表达式联立，解得x＝，y＝，
∴点D的坐标为（，）.
故答案为：（，）.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求对应的函数值y．
【答案】（1）解：∵y与x+3成正比例，
∴可设 ，
∵x=3时，y=12，
∴，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为
（2）解：当x=-2时， ．
18．在平面直角坐标系中，点 是一次函数 图象上一点.
（1）求m的值.
（2）当 时，求y的取值范围.
【答案】（1）解：把 ， ，代入 ，得：
∴
（2）解：当 时，
当 时，
∵ ，y随x的增大而减小
∴
19．一次函数的图象过点A(－1， 2)和点B(1，－4)
（1）求该一次函数表达式.
（2）若点P(m－1， n1)和点Q(m+1， n2)在该一次函数的图象上，求n1－n2的值.
【答案】（1）解：设一次函数表达式为 ，
将A(－1， 2)和点B(1，－4)代入可得，
，解得 ，
故 ；
（2）解：∵点P(m－1， n1)和点Q(m+1， n2)在该一次函数的图象上，
∴ ， ，
∴ .
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，它在y轴上的截距是-2．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB上有一点C，且，求点C的坐标．
【答案】（1）解：直线在y轴上的截距是，
，
将代入上式，解得，
点A的坐标是．
（2）解：设中边上的高等于h，
；
将代入，得；
将代入，得，
点的坐标为或
21．已知：直线 和 （ 且 ）交于点 .
（1）若点 的横坐标为2，求 的值.
（2）若直线 经过第四象限，求直线 所经过的象限.
（3）点 在直线 上，点 在直线 上，当 时，始终有 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵两条直线交于点 ，且点 的横坐标为2，
∴ ，得 .
（2）解：∵直线 经过第四象限，
∴ .
∴当 时，直线 经过第一、二、四象限；
当 时，直线 经过第一、二、三象限.
（3）解：由题意，得： ， ，
∴ .
∵ 时，总有 ，
∴ ，得 ，
∴ 且 .
新直线经过的象限；（3）先利用作差法求出，然后根据已知条件列不等式求解。
22．根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
23．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为　 　．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
【答案】（1）(-1，-1)
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，
，
又
解得
（3）解：直线上没有“不动点”，
直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【解析】(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得
一次函数的“不动点”为
24．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）．
（1）求直线AC的表达式和点B的坐标；
（2）作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．
①求△ABD的面积；
②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵A（0，4），C（2，0）．
∴，解得，
∴直线AC的表达式为y=-2x+4；
∵BE⊥x轴于点E，
∴∠BEC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°．
∵∠AOC=∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠OAC=∠BCE．
在Rt△AOC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△CEB（AAS），
∴BE=OC=2，CE=OA=4，
∴OE=OC+CE=6，
∴点B的坐标为（6，2）；
（2）解：①将B点坐标（6，2）代入y=x+b，得
6+b=2，
解得b=-4，
直线BD的解析式为y=x-4，
当x=0时，y=-4，即D（0，-4）．
∴AD=8，
∴S△ABD=×8×6=24；
②点M的横坐标为或或
【解析】(2)②∵点M直线AC上，且直线AC的表达式为y=-2x+4，
∴设M（x，-2x+4），
a、AM=AE时，如图，以A为圆心，AE为半径作弧交直线AC于M1、M2，作M1N1⊥x轴于N1，作M2N2⊥x轴于N2，
∵A（0，4），B（6，2）C（2，0），
∴OA=4，OE=6，OC=2，
∴AE=，AC=，
∴CM1=AC+AM1=2+2，
∵M（x，-2x+4），
∴M1N1=-2x+4，CN1=2-x，
在Rt△CM1N1中，M1N12+CN12=CM12，
∴（-2x+4）2+（2-x）2=（2+2）2，
解得：x1=，x2=（舍去），
∴点M1的横坐标为；
同理：CM2=AM2-AC=2-2，
∵M（x，-2x+4），
∴M2N2=2x-4，CN2=x-2，
在Rt△CM2N2中，M2N22+CN22=CM22，
∴（2x-4）2+（x-2）2=（2-2）2，
解得：x1=，x2=（舍去），
∴点M2的横坐标为；
b、AM=ME时，如图，作MN⊥AE于N，
∵AM=ME，MN⊥AE，
∴AN=EN，
∵A（0，4），E（6，0）．
∴N （3，2），
∵M（x，-2x+4），
∴ME2=（-2x+4）2+（6-x）2=5x2-28x+52，
MN2=（2+2x-4）2+（3-x）2=5x2-14x+13，
EN2=（AE）2=（）2=13，
在Rt△EMN中，MN2+EN2=EM2，
∴5x2-14x+13+13=5x2-28x+52，
解得：x=，
∴点M的横坐标为；
综上，点M的横坐标为或或．
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