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浙教版2025-2026学年八年级上数学第3章 一元一次不等式 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（　　）
A． B． C． D．
3．用不等式表示："a的与b的和为正数"，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．等腰的一条边为3cm，另一条边为7cm，则第三边的长为（　　）
A． B． C． D．或
7．某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
8．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
10．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
12．写出一个解为 的一元一次不等式：　 　．
13．“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
14．如果关于 x 的不等式 的解集为 ，那么 a 的取值范围是　 　.
15．定义：用符号
表示一个实数
的整数部分，例如：
，
，
.按此定义，计算
　 　.
16．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列不等式（组）
（1）； （2）
18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
19．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表：
指数范围
身体描述 偏低 正常 超重 肥胖
已知某同学体重67.5千克，身高1.5米．
（1）通过计算，选择对该同学合适的身体描述；
（2）若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围．
20．已知△ABC，三边为a＝3，b＝5和m．
（1）若△ABC是直角三角形，求m的值；
（2）若a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，求整数m的值．
21．已知关于x、y的二元一次方程组 ．
（1）若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值．
（2）若方程组的解满足x＜﹣y，求满足条件的整数m的最小值．
22．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）.例如： ；已知 ， .
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围.
23．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x个，需要长方形纸板　 　张，正方形纸板　 　张（请用含有x的式子）
（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？
（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．
24．若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
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浙教版2025-2026学年八年级上数学第3章 一元一次不等式 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意．
故答案为：D．
2．若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据数轴上表示的不等式组为，
故答案为：B.
3．用不等式表示："a的与b的和为正数"，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】a的与b的和为正数写出不等式为：
故答案为：A.
4．已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵不等式组的解为，∴
∴即a>b.
故答案为：A.
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
A、成立，故符合；
B、当x＜0时，，故不符合；
C、，但，即不一定成立，故不符合；
D、不一定成立，故不符合；
故答案为：A.
6．等腰的一条边为3cm，另一条边为7cm，则第三边的长为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】设等腰三角形的第三边长为，
∴，
解得，
等腰三角形的第三边长可能是．
故答案为：C
7．某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元，
所以，列不等式为：，
故答案为：B．
8．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵9件商品的平均价格为元，
∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，
∴，
解得：，
故答案为：A．
9．若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
10．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则　 　（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】∵，，
∴，
故答案为：＜．
12．写出一个解为 的一元一次不等式：　 　．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由不等式的性质得，2x 4>0等，答案不唯一.
故答案为： .
13．“的3倍与的差是负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【解析】的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
14．如果关于 x 的不等式 的解集为 ，那么 a 的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】∵不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .
15．定义：用符号
表示一个实数
的整数部分，例如：
，
，
.按此定义，计算
　 　.
【答案】3
【解析】∵16＜19＜25，
∴4＜
＜5.
∴3＜
＜4.
∴ .
故答案为：3.
16．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　.
【答案】a≥3
【解析】，
由不等式①，可得：x>a，
由不等式②，可得：x≤3，
∵不等式组无解，
∴a≥3，
故答案为：a≥3.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列不等式（组）
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：令
解①得
解②得
∴ 不等式组的解是：
18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，∴，
解得30≤x≤33，∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
19．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表：
指数范围
身体描述 偏低 正常 超重 肥胖
已知某同学体重67.5千克，身高1.5米．
（1）通过计算，选择对该同学合适的身体描述；
（2）若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围．
【答案】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米，∴，
∴该同学的身体描述为肥胖；
（2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重减轻x千克后身体达到正常，则，
∴解得，
∴该同学应该减轻体重的范围为．
20．已知△ABC，三边为a＝3，b＝5和m．
（1）若△ABC是直角三角形，求m的值；
（2）若a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，求整数m的值．
【答案】（1）解：∵△ABC是直角三角形，三边为a＝3，b＝5和m．
当为斜边时，
∴
当为斜边时，
∴
综上：或
（2）解：∵a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，
∴
∴
解得：
∵△ABC，三边为a＝3，b＝5和m．
∴
∴
∵为整数，
∴或或
21．已知关于x、y的二元一次方程组 ．
（1）若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值．
（2）若方程组的解满足x＜﹣y，求满足条件的整数m的最小值．
【答案】（1）解： ，
①+②得：8x﹣8y＝4m+8，即x﹣y＝1+ m，
代入x﹣y＝6得：1+ m＝6，
解得：m＝10，故m的值为10，
（2）解：②﹣①得：2x+2y＝8﹣4m，即x+y＝4﹣2m，
∵x＜﹣y，∴x+y＜0，∴4﹣2m＜0，解得：m＞2，
故m的取值范围为：m＞2，
∴满足条件的整数m的最小值为3
22．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）.例如： ；已知 ， .
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵a=1，b=-3，
∴ ，
∴ 可变形为 ，
化简得： ，
解得： ，
∵不等式组恰好只有1个整数解，
∴ ，
解得： .
23．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x个，需要长方形纸板　 　张，正方形纸板　 　张（请用含有x的式子）
（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？
（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．
【答案】（1）（x+300）；（200﹣x）
（2）解：依题意，得：， 解得：．
∵x为整数，
∴x＝38，39，40，
∴共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．
（3）解：设可以生产竖式纸盒m个，横式纸盒个，由此可得，为偶数，依题意，得：
∵
∴
∴
∴或
∴或
答：a的值为293或298．
【解析】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100﹣x）个，
则长方形纸板用了张，正方形纸板用了张
∴长方形纸板用了（x+300）张，正方形纸板用了（200﹣x）张.
24．若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
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