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浙教版2025-2026学年八年级上数学第1章 三角形的初步知识 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8 B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【答案】C
【解析】A、符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一的，故不符合题意；
B、根据三角形的判定定理，能画出唯一的，故不符合题意；
C、∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形，不能画出唯一的，故符合题意；
D、根据判定，可以画出唯一的，故不符合题意；
故答案为：C．
2．如图，在同一条直线上，，添加下列哪一个条件可以使（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵ ，BC=EF，AB=DE，
∴ (SAS)故A正确，
故答案为：A
3．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线
【答案】B
【解析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，
所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的中线.
故答案为：B.
4．下列选项中a的值，可以作为命题“则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用来证明命题“则”是假命题的反例可以是：，
∵ ，但是，
∴B正确；
故答案为：B.
5．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和定理得：∠C=180°-15°-65°=100°，
∴△ABC是钝角三角形.
∴A，B，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
6．如图，在△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）
A．20 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【解析】∵BD是AC边上的中线，
∴
∵△ABD的周长为30，
∴
∵
∴
∴△BCD的周长为：
故答案为：B.
7． 下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
【答案】D
【解析】A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故答案为：D.
8．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，
由折叠得：∠A=∠A'=α，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A.
10．如图，在的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（　　）个不同的格点三角形与全等．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】如图，共有9种情况：
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝　 　°．
【答案】80
【解析】∵在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°.
故答案为：80.
12．如图所示，，，，，，则　 　.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．已知，且的周长为6，若，则的长为　 　 ．
【答案】2.1
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∵ 的周长为6，
∴ ，
故答案为：2.1．
14．在中，，，，则x的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】由题知
即 ，
故答案为： .
15．如图，在中，，是的角平分线，则的长度为　 　cm．
【答案】3
【解析】过D分别作、的垂线，垂足分别为E、F，作于点G，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．如图，在中，，，垂足分别是D，E．，交点H，已知，，则的长是　 　．
【答案】2
【解析】，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：2.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
18．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
19．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD＝50° 40°＝10°．
（2）∠DAE＝ （∠C ∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝ ，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD
= ．
＝
=
＝ （∠C ∠B）．
20．如图，已知．
（1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果，，的面积为12，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：设点到的距离为，则点到的距离也为，
∵，
∴，
∴．
21．如图，已知，.
（1）判断AC与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分，于点E，，求的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴.
∵CA平分，
∴，
∴由（1）知，.
∴，，
∴，
∴.
∴.
22．如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
【答案】（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．

（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
23．综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
=
=
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
24．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的AM、 AN上，且AB=AC， CF⊥AE于点F， BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、OCAF的外角，已知AB=AC， 且∠1=∠2=∠BAC．
求证：△ABE≌ △CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC． 点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为27，直接写出△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）证明：∵CF⊥AE， BD⊥AE， ∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90° ，
∴∠ABD+∠BAD= =90°，∠ABD+∠CAF=90° ，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF （AAS）；
（2）证明：∵∠1=∠2=∠BAC， ∠1=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF， ∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF （ASA）
（3）解：△ACF与△BDE的面积之和是9
【解析】（3）∵△ABC的面积为27，CD=2BD
∴
由（2）可得△ABE≌△CAF
∴
故答案为：9
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浙教版2025-2026学年八年级上数学第1章 三角形的初步知识 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝6，CA＝8 B．AB＝6，∠B＝60°，BC＝10
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
2．如图，在同一条直线上，，添加下列哪一个条件可以使（　　）
A． B． C． D．
（第2题） （第6题） （第8题） （第9题） （第10题）
3．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线
4．下列选项中a的值，可以作为命题“则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
6．如图，在△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）
A．20 B．24 C．26 D．28
7． 下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
8．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（　　）个不同的格点三角形与全等．
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝　 　°．
12．如图所示，，，，，，则　 　.
（第12题） （第15题） （第16题）
13．已知，且的周长为6，若，则的长为　 　 ．
14．在中，，，，则x的取值范围为　 　．
15．如图，在中，，是的角平分线，则的长度为　 　cm．
16．如图，在中，，，垂足分别是D，E．，交点H，已知，，则的长是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
18．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
20．如图，已知．
（1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果，，的面积为12，求的面积．
21．如图，已知，.
（1）判断AC与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分，于点E，，求的度数.
22．如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
23．综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
24．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的AM、 AN上，且AB=AC， CF⊥AE于点F， BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、OCAF的外角，已知AB=AC， 且∠1=∠2=∠BAC．
求证：△ABE≌ △CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC． 点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为27，直接写出△ACF与△BDE的面积之和．
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