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2024-2025学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
6.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则( )
A. B. C. D.
7.某公司年会安排节目表演，有个小品节目、个歌舞节目和个杂技节目现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数的定义域为，定义集合，若，则( )
A. 在上单调递减
B. 是在上的最小值
C. 存在，使得是的极大值点
D. 存在，存在使得
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数
B.
C. 的极大值为
D. 若函数有三个零点，则
10.袋中有大小相同的个红球和个黄球，每次随机取出个球，用表示事件“第次取出红球”则下列说法正确的是( )
A.
B. 若每次取出的球不放回，则
C. 若每次取出的球放回，则
D. 若每次取出的球放回，则前次取球中最有可能取到次红球
11.已知函数，，，则( )
A. 当时，是奇函数
B. 当时，的最小值为
C. 任意，与具有相同的单调区间
D. 存在，使得与的图象有且仅有个不同的公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.某兴趣小组有名男生、名女生，现随机选出名学生参加志愿服务，则至少有名男生的概率为______．
14.若实数，满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某研究机构测试了款新能源汽车，电池容量与实际续航里程之间对应数据如下：
电池容量
实际续航里程
已知电池容量与实际续航里程之间具有很强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并估计当时对应的值．
附：经验回归方程中，．
16.本小题分
已知的展开式中，二项式系数的和为，求：
；
含的项；
偶数项的系数的和．
17.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
证明：曲线是中心对称图形；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
能否有的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？
若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“局胜制”有一队先胜局即获胜，比赛结束，甲队每局获胜的概率为．
若比赛打满局的概率为，求的最大值；
若，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数的概率分布及数学期望．
附：，其中．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围；
当时，若，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，，，
，，
所以，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
即当时对应的值大约为．
16.的展开式中，二项式系数的和为，
得，所以．
由知，展开式的通项为．
令，得，
所以含的项为．
展开式中第项系数为，
第项系数为，
第项系数为，
所以展开式中偶数项的系数和为．
17.由，
当时，，解得．
当时，，解得，
综上可知，不等式的解集为．
证明：因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
即的图象关于点对称，即曲线是中心对称图形．
因为，所以，
所以在，上单调递增．
由可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，故，即或．
所以的取值范围是．
18.提出零假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关，
根据列联表中的数据，得，
所以没有的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关；
比赛打满局的概率．
因为，
当且仅当，即时，取得最大值；
设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件，
且，，
，
则．
在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为，
则，
，
，
所以的分布列为：
．
19.当时，函数，导函数，
，，
因此函数在点处的切线方程为，即．
导函数，令函数，那么导函数，
若，当时，，单调递增，
所以，单调递增，不符合；
若，当时，导函数，单调递减，
因此导函数，单调递减，不符合；
若，则在有两个解，不妨设为，
列表如下：
极小值 极大值
当时，，那么导函数在上没有零点．
要使函数在上有且仅有个极值点，
那么导函数在上有且仅有一个变号零点，
那么需要，即，解得．
又由于，因此．
当时，，，
根据零点存在性定理知，存在唯一零点，使得，
当时，导函数，为减函数；
当时，导函数，为增函数，因此为的极小值点．
综上所述，的取值范围为．
证明：当时，，所以，
由可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
记，则，
因此
，
令，，则，
所以在上为减函数，故，即时，．
因为，，
所以，所以
当时，，
则，即．
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