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2024-2025 学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3+ .若复数 1+ ( ∈ , 为虚数单位)是纯虚数，则实数 的值为( )
A. 3 B. 32 C.
3
2 D. 3
2.已知平面向量 , 满足| | = | | = 2.若( + 2 ) = 0，则向量 , 的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
3 1 2 3.已知函数 ( )为定义在 上的奇函数，函数 ( ) = ( 1) + 1，则 ( 2000 ) + ( 2000 ) + ( 2000 ) + +
( 39992000 ) =( )
A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999
4.已知圆锥的底面半径为 1，体积为 ，则它的侧面积为( )
A. 2 B. 3 C. 10 D. 4
5.某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长(单位：分钟)情况，并根据样本数据绘制得到
如图所示的频率分布直方图(分为[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)，[200,240)，[240,280]
共七组)，则估计这些观众观看时长的 35%分位数为( )
A. 136 B. 135 C. 116 D. 125
6.如图，海中有一座小岛 ，一艘游轮自东向西航行，在点 处测得该岛在其南偏西 75°方向，游轮航行 16
海里后到达点 处，测得该岛在其南偏西 45°方向.若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距
离为( )
A. (8 3 8)海里 B. (4 3 4)海里
C. (8 3 + 8)海里 D. (4 3 + 4)海里
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7.如图，正六棱柱 1 1 1 1 1 1的底面边长为 5，点 ， 分别为线段 1 ， 1 1的中点，若异
1
面直线 与 1 所成角的余弦值是4，则此正六棱柱的体积为( )
A. 375 32
B. 375 3 75 52 或 2
C. 75 52
D. 375 3 75 152 或 2
8.如图，扇形的半径为 1，圆心角∠ = 150°，点 在弧 上运动， = + ，则 3 的最小
值是( )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1， 2是复数，则下列说法正确的是( )
A.若 31 2 = 0，则 1 = 0 或 2 = 0 B.若 1 ∈ ，则 1 ∈

C.若| 1| = | 2|，则 1 1= 2 2 D. | 1 2| = ( 1 + )22 4 1 2
10.以下选项正确的是( )

A. =1 ( ) = 0
B.事件 与事件 互为对立事件，则事件 与事件 一定互斥
C.事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 一定互斥
D.“掷 2 次硬币出现 1 个正面”的概率与“掷 4 次硬币出现 2 个正面”的概率不相等
11.如图， 垂直于以 为直径的圆所在的平面，点 是圆周上异于 ， 的任一点，则下列结论中正确的
是( )
A. ⊥
B. ⊥
C.平面 ⊥平面
D.平面 ⊥平面
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2)， = ( , )，且 // ，则 2 =______．
13.从存放号码分别为 1，2，3， ，10 的卡片的盒子里，有放回地取 100 次，每次取一张卡片，并记下
号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9
取到号码为奇数的频率为______．
14 .等腰梯形 中， = 6，| | = 4，| | = 1，底边 的中点为 ，动点 ， 分别在腰 ， (包含
端点)上，且< ， >= 2 .若( + )//( + 3 )，其中 ， ∈
4 +5
，则2 +3 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，四边形 中，已知 = 6， = 2， = 6．
(1)若 中点为 ，求 的长；
(2)若∠ = 120°，设∠ = ，
①用 表示 ，并写出 的取值范围；②若∠ = 60°，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，△ 是以 为斜边的等腰直角三角形， // ， ⊥ ， = = 2 =
2 = 2， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求直线 与平面 间的距离．
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17.(本小题 15 分)
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行
居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准 (单位： )，月用水量不超过 的部分按平价收
费，超出 的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月
均用水量(单位： )，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)若该市政府希望使 90%的居民每月的用水量不超过标准 ，估计 的值，并说明理由．
(3)在 100 位居民中，第 2 组有 位居民，若这 位居民月均用水量的平均数为 0.75 ，方差为 2，若其中一
位居民的用水量为 0.75 ，请判断其它( 1)位居民月均用水量的方差 2 21与 的大小关系，并说明理由. (参
1
考公式： 2 =
2
=1 ( ) )
18.(本小题 17 分)
如图，斜三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，四边形 1 1是菱形， 为 的中点， 1 ⊥平面 ， 1 =
2 = 2．
(1)求证：四边形 1 1为矩形；
(2)在 1 1上是否存在点 ，使得 1 ⊥平面 1

，若存在，求出 1 的值，若不存在，请说明理由；1
(3)若 ， 分别为 1， 的中点，求此斜三棱柱被平面 1 所截的截面面积．
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19.(本小题 17 分)
如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， = 2 3， = 2，点 是圆 上不同于 ， 的任意
一点， 为 的中点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 30°，求二面角 的余弦值；
(3)若点 为圆 (含圆周)内任意一点，它到点 的距离与到直线 的距离相等，求三棱锥 体积的取
值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 35
13.0.56
14.[ 12 217 , 11 ]
15.(1) ∵ = 6， = 2， = 6，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 2 2 = 62 + 22 + 2 × 6 = 52，
∴ = 52 = 2 13，
2 2 2
∴ 2 = 2( + ) = 2(36+4) 52 = 80 524 4 4 = 7，则 = 7；
(2) 2 120° 3① 120 = sin = sin = ，0° < < 60°，
②在△ 中，∠ = 60°， = 6， = 3 ，
3
6 1
由正弦定理得 60 = sin∠ ，即 3 = sin∠ ，∴ sin∠ = 4 ，
2
∴ ∠ = 180° 60° (60° + ) = 60° ，sin(60° ) = 14 ，
∴ sin(60° ) = 1 14，即2 [cos(60° 2 ) cos(60°)] =
1
4，
∴ cos(60° 2 ) = 1，又∵ 0 < < 60°，∴ = 30°．
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16.解：(1)证明：若 为 的中点，连接 ， ， 为 的中点，
则 // = 1且 2 ，
由 // ， = 2 ，则 // 且 = ，
故 BCE 为平行四边形，
所以 // ， 平面 ， 平面 ，
故 CE//平面 ；
(2)由(1)知直线 与平面 间的距离，即为点 与平面 间的距离 ，
由 // ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2，取 的中点 ，连接 ， ，
所以四边形 为矩形， = = 1，
由△ 是以 为斜边的等腰直角三角形， ⊥ = 1， 2 = 1，
由 ⊥ ， ∩ = 且都在平面 内，
则 ⊥平面 ，
由 // ，则 ⊥平面 ， 平面 ，
则平面 ⊥平面 ，
以 为原点构建空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， ( 1,1,0)， (1,1,0)，
由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
在 △ 中 = 2， = 1，则 = 2 2 = 3，
由 = = 1，所以 cos∠ = 1+1 3 12×1×1 = 2，可得∠ = 120°，
所以 (0, 3 , 3 )， ( 1 , 5 , 3 )，则 = (0, 3 , 3 )， ，2 2 2 4 4 2 2 = ( 1,1,0)
= ( 1 , 52 4 ,
3 )，4
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ =
3
2 +
3
2 = 0则 ，则 ， ⊥ = + = 0
取 = 1，则 = (1,1, 3)，

1
2+
5 3
所以 = | 4
4
| | | = | 5 | =
5，
5
所以直线 与平面 间的距离为 5．
5
17.(1)0.5 × (0.08 + 0.16 + + 0.40 + 0.52 + + 0.12 + 0.08 + 0.04) = 1，解得 = 0.30；
(2)估计 ≈ 3.17，理由如下：
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根据题意可知，0.5 × (0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.40 + 0.52 + 0.30) = 0.88 < 0.9，
0.5 × (0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.40 + 0.52 + 0.30 + 0.12) = 0.94 > 0.9，
故 落在第 7 组，0.88 + 0.12( 3) = 0.9，解得 ≈ 3.17，
故该市政府希望使 90%的居民每月的用水量不超过标准 3.17 ；
(3) 21 > 2，理由如下：
根据题意可知，在 100 位居民中，第 2 组有 位居民，100 × 0.16 × 0.5 = 8 人，即 = 8，
其中一位居民的用水量为 0.75 ，设其它 7 位居民用水量分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，
故 2 = 18 (
7 2
=1 ( 0.75) + (0.75 0.75)
2) = 1 7 28 =1 ( 0.75) ，
7 0.75×8 0.75其它 位居民用水量平均数为： 7 = 0.75，
故 2 = 17 21 7 =1 ( 0.75) ，显然
2
1 > 2．
18.(1)证明：斜三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是平行四边形，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，因此 1 ⊥ ，
因为 ⊥ ， 1 ∩ = ，因此 ⊥平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，因此 ⊥ 1，因此四边形 1 1为矩形．
(2)如图，过点 作 的垂线交 于点 ，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，因此 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 ， 1 ，因此 ⊥平面 1 ，
过点 1作 的平行线交 1 1于点 ，连接 1 ，因此 1 ⊥平面 1 ，

由斜三棱柱的性质易知 1

=

，
1
在平面 中以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系，
因此 (0,0)， (1,0)， (0, 1)， (0, 2)， = (1,2)，
设 = ，则 ( , 2 2)，因此 = ( , 2 2)， = ( 1, 1)，
因为 ⊥ ，因此 = 0，
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2
即 + 2 2 = 0，解得 = 3，
2在 1 1上是存在点 ，当
1
= = 1时， 1 ⊥平面 1 1 ．
(3)延长 ， 1交于点 ，连接 1交 于点 ，连接 1 ， ，
则四边形 1 即为所得截面，
因为四边形 1 1是菱形， 为 的中点， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
因此 1 ⊥ ，△ 1是等边三角形，则 1 = = 1 = 2，
因为 = 1，因此 1 1 = = 5，
过 1作 1 ⊥ 1交 1于 ，
因为 ⊥ ， ⊥ 1， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，因此 ⊥平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，因此 ⊥ 1 ，
因为 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，因此 1 ⊥平面 1 1，
因为 平面 1 1，因此 1 ⊥ ， 1 = 1 2 + 2 = 5，
在△ 1 1 中，因为∠ 1 1 = 120°，
由余弦定理可知 = 121 + 22 2 × 1 × 2 × 120° = 7，
因为 ， 分别为 1， 的中点， // ，易知△ 与△ 全等，
因此 = 12
5
1 = ，2 = 2 = 5， = = 1，
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在直角三角形 1 1 中 1 = 2 21 1 + 1 = 10，由 // 1 1可得 = ，1 1
2 2 2
在△ 1 中，由余弦定理可知 cos∠ =
+ 1 1 2 2
1 ，2 =1 5
因此 sin∠ = 171 ，5
因此 △ 1 =
1
2 1 sin∠ 1 =
1 17 34，
2 × 5 × 10 × 5 = 2
1 1
设截面面积为 ，由于 = 2 ， = 3 1，
= 1 1因此 △ 1 △ = 2 1sin∠ 1 2 ∠ 1
= 512 1sin∠ 1 =
5 34．
12
即所求截面面积为5 34．
12
19.(1)证明：因为 ⊥平面 ，且 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为点 在以 为直径的圆上，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = 2, = 2 3，所以 = 2 + 2 = 22 + (2 3)2 = 4，
因为 ⊥平面 ，
则∠ 为直线 与平面 所成的角，即∠ = 30°，
所以 = 2，因为 为 中点，所以 = = 2，
所以三角形 为等边三角形，取 中点为 ，连结 ，则 ⊥ ，
过 作 ⊥ 交 于点 ，
则∠ 为 的平面角．
在直角三角形 中， = 1, = 33 , =
2 3
3 ，
在三角形 中，
2+ 2 2 2+ 2cos∠ = =
2
由余弦定理得 2 2 ，
4
3 +4 2
所以 3 =
3 ，
2×2 33 ×2
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所以 2 = 83．
在三角形 中，
cos∠ =
2+ 2 2 1
由余弦定理得 2 = 3．
(3)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连结 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
即 为点 到直线 的距离．
因为 = 2 2, = 2 2, = ，所以 = ，
所以点 在∠ 的角平分线上，
所以∠ = 30°，所以 = 2 33 ，
所以点 在直线 上，
所以 0 ≤ ≤ 2 63 ，
因为 1 2 3 = 3 △ = 3 ，
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0 < 4 2所以 ≤ 3 ，
4 2
即三棱锥 体积的取值范围为(0, 3 ]．
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