资源简介

2024-2025 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 = 在 = 6处的导数等于( )
A. 1 B. 1 C. 3 32 2 2 D. 2
2.已知随机变量 ( , 2)，且 ( ≥ 2) = ( ≤ 8)，则 ( ≥ 5) =( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
3.树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加.某学习小组有 6 名同学，其中甲、乙两
位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是( )
A. 64 B. 32 C. 31 D. 16

4.记试验的样本空间 = {1,2,3,4,5,6}，事件 = {1,2,4}， = {1,3,5}，则 ( | ) =( )
A. 23 B.
1 3 1
3 C. 4 D. 4
5.如图，直线 = + 与曲线 = ( )相切于点 ，则函数 ( ) = ( ) 在( 1,1)上的极值点的个数
为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
6.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率
3 1
为4，向右移动的概率为4，共移动 4 次，则该质点位于原点右侧的概率为( )
A. 13 B. 81 27 189256 256 C. 64 D. 256
7.(1 + 2 + 2)(1 )10的展开式中 4的系数为( )
A. 495 B. 375 C. 135 D. 15
8.已知函数 ( ) = ln( + )，若 ( ) > 0 恒成立，则正整数 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 8页
9 1.( 6 ) 的展开式中，下列说法正确的是( )
A.展开式共有 7 项 B.常数项为 20
C.第二项与第四项的二项式系数相等 D.各项系数之和为 0
10.根据分类变量 与 的成对样本数据，提出零假设 0，并计算得到 2 = 2.974，则下列说法正确的是( )
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.零假设为 0：分类变量 与 独立
B.根据小概率值 = 0.1 的 2独立性检验，可以认为 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.1
C.根据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，可以认为 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.01
D.若所有样本数据都扩大为原来的 10 倍，根据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，可以认为 与 不独立，
这个结论犯错误的概率不超过 0.01
11.已知 ( )为 上的偶函数， (1) = 0， ′( )为 ( )的导函数，且当 < 0 时，3 ( ) + ′( ) < 0，则( )
A.当 < 1 时， ( ) < 0 B. ′(1) > 0
C. (2) > 8 (4) D. ( 1 12 ) < ( 4 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 2 = 2 3，那么 = ______．
13.已知函数 ( ) = 2 + ，若 ( )在(0, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为______．
14.有 6 张卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，6，背面均写有数字 7.先把这些卡片正面朝上排成一
排，且第 个位置上的卡片恰好写有数字 ( = 1,2,3,4,5,6).然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为 ，则
将第 个位置上的卡片翻面并置于原处.进行上述实验 3 次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，
计算骰子恰有一次点数为 3 的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 2 + 2 + 4．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 2 是 ( )的极小值点，求 及函数 ( )的极值．
第 2页，共 8页
16.(本小题 15 分)
在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去 5
天的订单数如下：
日期 (天) 1 2 3 4 5
订单数 (件) 13 21 45 55 66
为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究，



(1)甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时 关于 的经验回归方程 = + ；

(2)乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得 关于 的经验回归方程为 = 7.42 + 34 ，并计算出决定
系数 2 = 0.9276，
①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好；
( )( )
②用①中选择的模型预测该区域第 10 天的订单数(结果保留整数).附： = =1 2 = =1 ( )

=1
2
, =

；决定系数 2 = 1 =1
( )
2 2 2． =1 =1 ( )
参考数据： 10 ≈ 2.30
17.(本小题 15 分)
近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐.某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区
消费者进行抽样调查.统计其中 300 名消费者(表中 3 个年龄段的人数各 100 人)食用轻食的频数与年龄得到
如下的频数分布表．
年龄 25 岁以下( < 50 岁及以上( ≥
25 岁到 50 岁[25,50)
食用频数 25) 50)
轻食低频消费者(每周≤ 1 次) 15 35 50
轻食中频消费者(每周 2 3 次) 55 45 40
轻食高频消费者(每周 4 6 次及以
30 20 10
上)
(1)已知该地区 25 岁以下、25 岁到 50 岁、50 岁及以上三个年龄段的人数比例为 3：6：1，用频率估计概
率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．
(2)从以上样本的轻食高频消费者(每周 4 6 次及以上)中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取 6 人，再
从这 6 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 25 岁以下与 25 岁到 50 岁的人数分别为 ， ，记 = | |，
求 的分布列与期望．
第 3页，共 8页
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若方程 ( ) = 1 有两根，求 的取值范围；
(3)证明：当 ≥ 1 时， ( ) ≥ ．
19.(本小题 17 分)
现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为 .在某次抽样中，经统计抽取的 100
件产品中，恰有 98 件合格品．
(1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取 10 件，记合格品的数量为 ，求 的期望 ( )；
(2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值.设 为与未知
参数 有关的离散型随机变量，其中 的取值范围为 .若对已知结果 = ，存在 0 ∈ ，且对任意 1 ∈ ，
有 ( = | = 0) ≥ ( = | = 1)成立，则称 0为 的一个极大似然估计值．
①请根据此次抽样，求 的极大似然估计值 0．
②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行 次独立抽样，每次
从中抽取 个产品，记录合格品数分别对应为 1， 2，…， ，请根据这 次独立抽样结果，求 的极大似然
估计值 1．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.( ∞, 127 ]
14.13
15.(1)当 = 1 时，函数 ( ) = 3 2 2 + + 4，则 (1) = 4，
又 ′( ) = 3 2 4 + 1，则 ′(1) = 0，
即曲线 = ( )在(1, (1))处的切线斜率 = 0，
故 = ( )在(1, (1))处的切线方程为 = 4．
(2) ′( ) = 3 2 4 + 2 = ( )(3 )，
令 ′( ) = 0 ，得 = 3或 ．

因为 = 2 是函数 ( )的极小值点，所以必有 > 0，则3 < ，

当 < 3或 > 时， ′( ) > 0

，当3 < < 时， ′( ) < 0．
所以函数在( ∞, 3 )和( , + ∞)上单调递增，在( 3 , )上单调递减．
则 = 时 ( )取极小值，即 = 2，此时 ( ) = 3 4 2 + 4 + 4，
( ) ( ) = ( 2 ) = 140则 的极大值为 3 3 27，极小值为 ( ) = (2) = 4．
第 5页，共 8页
16. (1)由题可得 = 1+2+3+4+55 = 3，

= 13+21+45+55+665 = 40，

=
5
=1 ( )( 所以
) = 1405 2 10 = 14， =1 ( )

= = 40 14 × 3 = 2，

所以 关于 的经验回归方程为 = 14 2．

(2)①由(1)知 = 14 2，从而有：
1 2 3 4 5

12 26 40 54 68
5
2 2 2 2 2 2
=1 ( ) = (13 12) + (21 26) + (45 40) + (55 54) + (66 68) = 56，

5 ( )2 = (13 40)2 + (21 40)2 + (45 40)2 + (55 40)2 =1 + (66 40)
2 = 2016，
5 2
2 = 1 =1
( ) 56
5 2 = 1 2016 ≈ 1 0.0278 = 0.9722， =1 ( )
因为 0.9722 > 0.9276，从 2来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好．

②当 = 10 时， = 14 × 10 2 = 138，
所以预测第 10 天的订单数为 138 件．
17.(1)记从该地区中任抽一人，其年龄在 25 岁以下、25 岁到 50 岁、50 岁及以上分别为事件 1， 2， 3，
其为高频消费者为事件 ，
则 ( 1) =
3 3 1
10， ( 2) = 5， ( 3) = 10，
所以 ( | 1) =
3
10， ( | 2) =
1
5， ( | 3) =
1
10，
( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | ) =
3
3 10 ×
3 3 1 1 1 11
10 + 5 × 5+ 10 × 10 = 50；
(2)若利用分层抽样的方法抽取的 6 人中，
其中年龄在 25 岁以下与 25 岁到 50 岁的人数分别为 3 和 2，
易得 的所有可能取值分别为 0，1，2，3，
1 1
( = 0) = ( = 1, = 1) = 3 2 = 3所以 3 10， 6
2 1 1 2
( = 1) = ( = 2, = 1) + ( = 1, = 2) = 3 2 + 3 2 = 9，
36
3
6 20
第 6页，共 8页
2 2
( = 2) = ( = 2, = 0) + ( = 0, = 2) = 3 + 2 = 13 3 5， 6 6
3
( = 3) = ( = 3, = 0) = 3 = 1，
36 20
则 的分布列为：
0 1 2 3
3 9 1 1
10 20 5 20
故 ( ) = 0 × 310 + 1 ×
9
20 + 2 ×
1
5 + 3 ×
1
20 = 1．

18.(1)由题意有 ′( ) = ( 1) 2 = 2 ．
当 ≤ 0 时， ′( ) ≤ 0， ( )在(0, + ∞)单调递减；
当 > 0 时，令 ′( ) > 0，得 > 1 ， ( )单调递增；
1
令 ′( ) < 0，得 0 < < ， ( )单调递减．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减；
1 1
当 > 0 时， ( )在(0, )单调递减，在( , + ∞)单调递增．
(2)由(1)知，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减，所以方程 ( ) = 1 最多一根，故 > 0．
因为当 > 0 时， ( )在(0, 1 1 )单调递减，在( , + ∞)单调递增，
又因为 → 0， ( ) →+∞，且 →+∞， ( ) →+∞，
1
故要使方程 ( ) = 1 有两根，则 ( ) < 1，
< 1 < 1 (0, 1即 ，得 ，故 的取值范围为 )．

(3) 证明：要证 ≥ ，

即 ≥ =

，

令 = ，
则只需证 ≥ ，
当 0 < ≤ 1 时， ≤ 0，上式显然成立；
现证当 > 1 时上式成立：

由(1) 1知， ≥ ( ) = ，
第 7页，共 8页
取 = 1，
即得 ≥ = ，
取 = > 1，
即可得 ≥ ，
即得证．
19.(1) 98 49 49估计合格率 = 100 = 50，则 ( , 50 )，
∴ 49 49的期望 ( ) = = 10 50 = 5；
(2)①从这批产品中抽取 100 件产品，记合格品的数量为 ，则 (100, )，
∴ ( = 98) = 98 98100 (1 )2，设 ( ) = 98 98 2100 (1 ) ，
′( ) = 98 [98 97(1 )2 2 98(1 )] = 98 97100 100 (1 )(98 100 )，
∵ 0 ≤ ≤ 1 < 49 49，当 50时， ′( ) > 0，当50 < ≤ 1 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在(0, 49 4950 )上单调递增，在( 50 , 1)上单调递减，
∴当 = 49 4950时， ( )取得最大值，即 的极大似然估计值为 0 = 50．
② ( , )，则 ( = ) = (1 ) ， = 1，2，3，…， ，
设 ( ) = ( = 1) ( =
1 2
2)… ( = ) = 1(1 ) 1 2(1 ) 2… (1 ) ．
两边同时取自然对数并整理得：
( ) = = 1 [ ln

+ + ( )ln(1 )] = = 1

( ln ) + ( = 1 ) + ( =
1 )ln(1 )，
令 ( ) = ( ) = = 1 ( ln

) + ( = 1 ) + ( = 1 )ln(1 )，

求导得 ′( ) = =1 =1 = + =1 1 (1 ) ，

令 ′( ) = 0，可得 = =1 ， ∈ (0,
=1
)时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增，
∈ ( =1 , 1)时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减，

∴ = =1 时， ( ) = ( )最大，此时 ( )取得最大值．


因此， 的极大似然估计值为 1 = =1

．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑