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2024-2025学年安徽省合肥 168中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | ≥ 1}， = { | 2 2 < 0}，则 ∪ =( )
A. { | > 1} B. { | ≥ 1} C. { | 1 < < 1} D. { |1 ≤ < 2}
2.“sin2 + cos2 = 1”是“ ± = 0”的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 ( ) = 25 1 是奇函数，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 2
4.如果奇函数 ( )在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5，那么 ( )在区间[ 7, 3]上是( )
A.增函数且最小值为 5 B.增函数且最大值为 5
C.减函数且最小值为 5 D.减函数且最大值为 5
5 5 2.已知事件 ， ，且 ( ) = 6， ( ) = 3， ( | ) =
1
2，则 ( | ) =( )
A. 45 B.
2 1 1
5 C. 3 D. 5
6 1 2 3.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为2 , 3 , 4，且三人
是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. 1 B. 7 C. 11 D. 174 24 24 24
7 ( ) =
2 + 2 , ≤ 0
.已知函数 ln( + 1), > 0 ，若| ( )| ≥ ，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,1] C. [ 2,1] D. [ 2,0]
8.已知 ， ∈ ，且 ≠ ，则 2 + 2 + ( 1+ 2 ) 的最小值为( )
A. 3 B. 22 C.
1
2 D. 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A.若 ： ∈ ， 2 > 2 ，则￢ ： ∈ ， 2 ≤ 2
B.若不等式 2 + + 3 > 0 的解集为{ | 1 < < 3}，则 + = 2
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C.“ > 1 1”是“ < 1”的充分不必要条件
D.若 > 0， > 0，且 4 + = 1 1 1，则 + 的最小值为 9
10.已知 = ( 1)( + 1)的图象如图所示，若 ( ) = ( 1)( + 1) + 0.01，则关于方程 ( ) = 0 根的
情况说法正确的是( )
A.有三个实根
B.当 < 1 时，恰有一实根
C.当 1 < < 0 时，恰有一实根
D.当 0 < < 1 时，恰有一实根
11.已知函数 ( ) = 2 + 2ln 的图像在 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))两个不同点处的切线相互平行，则下面等
式可能成立的是( )
A. + = 2 B. + = 10 C. = 1 D. = 101 2 1 2 3 1 2 1 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = cos2 2 ，则 (1) =______．
13.已知函数 = 2 , = 2, = 2 在同一个坐标系的图象如图，则能使不等式
2 < 2 < 2 成立的 的取值范围是______．
14.已知 > 1, > 1, 1 = 2 , 1 = 2
1
，则 +
1
= ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = ， ∈ ．
(1)求方程( ( ))2 = ( ) + 2 的实数解；
(2)若不等式 + ≤ ( )对于一切 ∈ 都成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
对于函数 ( )，若存在 ∈ ，使 ( 0) = 0成立，则称 0为 ( )的不动点.已知函数 ( ) = 2 + ( + 1) +
( 1)( ≠ 0)．
(1)当 = 1， = 2 时，求函数 ( )的不动点；
(2)若对任意实数 ，函数 ( )恒有两个相异的不动点，求 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若 ( )的两个不动点为 1， 2，且 ( 1) + 2 =
1
2 2+1，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取 10 名会员的数据如下：
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
锻炼时长 (小时) 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
体重减少量 (千
1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
克)
并计算得：
10 2 = 172,10 2 10 =1 =1 = 29.3, =1 = 70.6．
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量 与变量 之间的线性相关关系，请用相关系数加以
说明；

(2)求经验回归方程 = + (结果精确到 0.01)；
(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加 2 个小时，实际观测到的平均体重减
少量增加了 0.8 千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释．


( 参考公式：相关系数 = =1 ，回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘法估计公
2 2 2 2 =1 =1


式分别为 = =1

2

2
， = .参考值： 2.404 ≈ 1.550)
=1
18.(本小题 17 分)
某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取 10 名业绩突出的员工
参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为 0，
每次掷得点数为偶数得 2 分，点数为奇数得 1 分.连续投掷累计得分达到 9 分或 10 分时，游戏结束．
(1)设员工在游戏过程中累计得 分的概率为 ．
①求 1， 2， 3；
②求证数列{ 1}(2 ≤ ≤ 9)为等比数列．
(2)得 9 分的员工，获得二等奖，得 10 分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，
且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过 1 万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？(精确到
1 元)
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
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(2)若 ( )有两个零点， ′( )为 ( )的导函数．
( )求实数 的取值范围；
( )记 ( )较小的一个零点为 0，证明： 0 ′( 0) > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13.{ |0 < < 2 或 > 4}
14.1
15.解：(1)由 ( ) = 知，方程( ( ))2 = ( ) + 2，即为( )2 = + 2，
即( 2)( + 1) = 0，
解得 = 2，即 = 2．
(2)不等式 + ≤ ( )，即 + ≤ ，
原不等式可化为 ≤ 对于一切 ∈ 都成立，
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1，
当 > 0 时， ′( ) > 0，当 < 0 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
故当 = 0 时，( ) = (0) = 1，
所以 ≤ 1，
所以实数 的取值范围为( ∞,1]．
16.(1)因为 = 1， = 2，所以 ( ) = 2 + 3 + 1，
设函数 ( )的不动点为 0，
则 ( 0) = 20 + 3 0 + 1 = 0，
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化简得( 0 + 1)2 = 0，解得 0 = 1，
所以 ( )的不动点为 1；
(2)令 ( ) = ，则 2 + + 1 = 0 有两个相异的解．
所以 = 2 4 ( 1) > 0，
即 2 4 + 4 > 0 对于任意 恒成立，
令 ( ) = 2 4 + 4 ，
则 ( ) = (2 ) = (2 )2 4 × 2 + 4 = 4 2 + 4 > 0，
解得 0 < < 1，
所以实数 的取值范围为(0,1)；
(3)因为 1， 2为 ( )
1
的两个不动点，且 ( 1) + 2 = 2 2+1，
所以 ( 1) = 1，
+ = 1所以 1 2 2 2+1，

因为由(2)知， 1 + 2 = ，
1
所以2 2+1 = ，
1
所以 = 2 2+1 = 1．2 +
由(2)得到 0 < < 1，
1
根据基本不等式的性质可得 2 + ≥ 2 2，
1 2
当且仅当 2 = 时，即 = 2 时等号成立，
所以 ≤ 1 22 2 = 4 ．
又 > 0 = 0，所以 2 2+1 > 1 = 0．
所以 0 < ≤ 24 ，
2
即实数 的取值范围为(0, 4 ].
17. (1) = 40 = 4, = 16.4解： 由表可知： 10 10 = 1.64，
又因为10 2 10 2 =1 = 172, =1 = 29.3,
10
=1 = 70.6，
= 70.6 10×4×1.64所以 = 5 ≈ 0.93，
172 10×42× 29.3 10×1.642 12× 2.404
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因为 与 的相关系数 ≈ 0.93 接近 1，
所以 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合 与 的关系；

(2) =

=1 70.6 10×4×1.64 5由题可知：
2
=
=1 2 172 10×4
2 = 12 ≈ 0.42，

= = 1.64 512 × 4 ≈ 0.03，

所以 = 0.42 0.03；
(3)由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加 2 个小时，
预测平均体重减少量增加 0.84 千克，与实际增加值 0.8 千克较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值，
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等．
18.(1)①由参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为 0，
每次掷得点数为偶数得 2 分，点数为奇数得 1 分．
连续投掷累计得分达到 9 分或 10 分时，游戏结束，
设员工在游戏过程中累计得 分的概率为 ，
= 1可得 1 2；
= 1+ 12 2 2 ×
1
2 =
3
4；
3 = 2 ×
1 1 1 1 1 5
2 × 2 + 2 × 2 × 2 = 8；
②证明：由题知，累计获得 分时有可能是获得 1 分时掷骰子点数为奇数
或获得 2 分时掷骰子点数为偶数，
1
而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为2．
所以 = 1 1 2 1 + 2 2(3 ≤ ≤ 9)，
1 1
则 1 = 2 ( 1 2), (3 ≤ ≤ 9)，又 2 1 = 4
故{ 1 1 1}(2 ≤ ≤ 9)为首项为4，公比为 2的等比数列．
(2)由(1)知 1 =
1 1 2
4 ( 2 ) , 1 =
1 1
2 4 ( 2 )
3, ……, 12 1 = 4，
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1 1 (
1) 1 1 ( 1) 1
将所有等式相加得 2 21 = 4 1 = 6 ，1 ( 2)
所以 = 1 6 [1 (
1
2 )
1] + 1 = 2+ 1 1 2 3 3 ( 2 ) (1 ≤ ≤ 9)，
所以 9 =
2
3+
1 1 9 341 1 1 2 1 1 8 171
3 ( 2 ) = 512 , 10 = 2 8 = 2 × [ 3 + 3 × ( 2 ) ] = 512，
设一等奖的奖金为 元，二等奖的奖金为2元，

由题意知( 2
341 + 171512 512 ) × 10 ≤ 10000 元，
1024000
解得 ≤ 683 ≈ 1499.27，即一等奖的奖金最多不超过 1499 元．
19.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
导函数 ′( ) = 2 + ( 2) 1 = ( 1)(2 +1) ，
①当 ≤ 0 时，导函数 ′( ) < 0， ( )在区间(0, + ∞)单调递减；
②当 > 0 1时，令导函数 ′( ) = 0，解得 = ，
1
当 ∈ (0, )时，导函数 ′( ) < 0， ( )单调递减；
1
当 ∈ ( , + ∞)时，导函数 ′( ) > 0， ( )单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减；
当 > 0 时， ( ) 1 1在( , + ∞)单调递增，在(0, )上单调递减．
(2)( )若 ≤ 0，根据第一问知，函数 ( )至多有一个零点；
若 > 0 1 1 1，根据第一问知，当 = 时，函数 ( )取得最小值为 ( ) = 1 + ．
1 1
由于当 ∈ ( , + ∞)时，函数 ( ) ∈ (1 + , + ∞)；
当 ∈ (0, 1 1 )时，函数 ( ) ∈ (1 + , + ∞)，
1
因此 ( )有两个零点当且仅当 ( ) < 0．
设函数 ( ) = 1 + 1， ( )在区间(0, + ∞)单调递增．
由于 (1) = 0， ( ) < 0 的解集为 ∈ (0,1)．
综上所述， 的取值范围是(0,1)．
( )证明：由于函数 ( ) = ( 2 + ) 2 ，根据 (1) = 2 2 < 0，结合( )知 0 < 0 < 1，
要证 0 ′( 0) > 2，那么即证(2 0 + 1)( 0 1) > 2，即 0(2 0 + 1) > 2 0 1，
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当 0 < ≤ 10 2时，由于 0(2 0 + 1) > 0，2 0 1 ≤ 0，不等式恒成立；
1
当2 < 0 < 1 时，根据 ( 0) = 0，得 0( 0 + 1) = 0 + 2 0．
即证(2 0 + 1)( 0 + 2 0) > (2 0 1)( 0 + 1)．
> (2 0 1)( 0+1) 2
2
0 0 1 1即证 0 2 2 0 =0+1 2 +1
= 0
0 2 +1
．
0
1
即证 0 + 0 + 2 +1 > 0．0
1 1
设 ( ) = + + 2 +1， ∈ ( 2 , 1)，
由 ′( ) = 1 + 1
2 1 2
(2 +1)2 > + 1 1 > 0，(2×2+1)2
1 1
所以 ( )在( 2 , 1)单调递增．所以 ( ) > ( 2 ) = 2 + 1 > 0，故原不等式成立．
所以 0 ′( 0) > 2．
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