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2024-2025 学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 3, 2, 1,0,1}， = { ∈ | +3 1 < 0}，则 ∩ =( )
A. [ 3,1) B. [ 3,1]
C. { 3, 2, 1,0,1} D. { 2, 1,0}
2.下列说法不正确的是( )
A.若随机变量 服从正态分布 (3, 2)，且 ( ≤ 4) = 0.7，则 (3 < < 4) = 0.2
B.一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的第 60 百分位数为 14
C.若线性相关系数| |越接近 1，则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量 ， ，且线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实数
的值是 4
3.已知(1 )2 = 2 + 2 ，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 +
4.已知圆 1：( + 2)2 + 2 = 4 与圆 2：( 2)2 + ( 1)2 = 9，则圆 1与圆 2的位置关系是( )
A.相交 B.外离 C.外切 D.内含
5.已知平面 及直线 ， ，则下列说法错误的个数是( )
①若直线 ， 与平面 所成角都是 30°，则这两条直线平行；
②若直线 ， 与平面 所成角都是 30°，则这两条直线不可能垂直；
③若直线 ， 垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直；
④若直线 ， 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的
望楼传递信息．望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以
在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有 512 种不同的颜色
组合，即代表 512 种不同的信息．现要求最多出现 2 个紫色格子，那么一共可以传
递的不同的信息有( )
A. 36 种 B. 45 种 C. 46 种 D. 84 种
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7
2 2
.已知从椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交 的另一个焦
( 3, 0) | |点 ，， 为椭圆的长轴端点， ， 为椭圆的短轴端点， ， 分别为椭圆的左右焦点，动点 满足| | = 2，
8 3
若△ 的面积的最大值为 3 ，则△ 面积的最小值为( )
A. 33 B.
3
2 C. 1 D. 2
8.已知函数 ( ) = ( 12 3) + (
3
2 + 1) ，将 ( )

图象向右平移3个单位长度得到函数 ( )的图

象，若对任意 ∈ ，都有 ( ) ≤ | ( 4 )|成立，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 = + ( , ∈ )( 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )

A.“ ∈ ”的充要条件是“ = ”
B.若 = = 1，则 3的虚部为 2
C.若 = 0， = 1，则2022 =1
= + 2 + 3 + + 2022 = 1
D.方程 2 5| | + 6 = 0 在复数集中有 6 个解
10.下列四个结论中，正确的结论为( )
A.函数 ( ) = 与函数 ( ) = 2相等
B.若函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)的图象没有经过第二象限，则 > 1
C.当 ∈ (1,2)时，关于 的不等式 2 + + 4 < 0 恒成立，则实数 的取值范围为 < 5
2
D. ( ) = ( +1)若函数 2+1 的最大值为 ，最小值为 ，则 + = 2
11.非零实数 ， ， 不全相等.下列说法正确的是( )
A. 1 1 1若 ， ， 成等差数列，则 ， ， 可以构成等差数列
B. 1 1 1若 ， ， 成等比数列，则 ， ， 必定构成等比数列
C.若 > > 0， = ，则 <
D.若 = 2，且 + + = ln( + )，则 < <
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 = { | = 4 2}， = { | = 2 2 3, ∈ }，求 ∩ = ______．
2 2
13 .已知双曲线 ： 2 4 = 1 的一条渐近线方程为 2 + 3 = 0， 1， 2分别是双曲线 的左、右焦点，点
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在双曲线 上，且| 1| = 7，则| 2| = ______．
14.若函数 ( ) = log ( > 0, > 0，且 ≠ 1)的图象与直线 + = 2 没有交点，则 的取值范围是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知公差不等于零的等差数列{ }的前 项和为 ，且满足 4 = 16， 1， 2， 5成等比数列．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ) 8 求数列{ 2 2 }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 1， = 2， = 3， = 4，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)讨论函数 ( )在区间[1, + ∞)上的单调性；
(2)当 = 3 时，证明： ( ) ≥ 2 2．
18.(本小题 17 分)
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，
其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并
大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”
这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若△ 的内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，面积为 ，则“三
1 2 2 2
斜求积”公式为 = 4 [
2 2 ( + )22 ]．
(1) 1用“三斜求积”公式证明 = 2 ；
(2)若 = 2，且 3 + 2 3 = ，求△ 面积的最大值；
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(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体 的外接球表面积为 1，
△ 的外接圆面积为 2.已知 = ， = ，且( 2 + 2 + 2)( 2 2 + 2 2 + 2 2) = ( 2 + 2)( 2 +
2)( 2 + 2) + 2 2 2， 2 + 2 = 2， 2 + 2 = 2 ，试用 ， ， 表示 2 ，并求
2
的取值范围．1 1
19.(本小题 17 分)
新能源汽车的春天来了！2018 年 3 月 5 日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购
置税优惠政策再延长三年，自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日，对购置的新能源汽车免征车辆购
置税．某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际
销量如表：
月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04
月份编号 1 2 3 4 5
销量(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 (万辆)与月份编号 之间的相关关系．请



用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 = + ，并预测 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量；
(2)2018 年 6 月 12 日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里
程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整．已
知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理
预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期
[1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7)
值区间(万元)
频数 20 60 60 30 20 10
( )求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 的样本方差 2及中位数的估计值(同一
区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到 0.1)；
( )将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取 3 人，记被抽
取 3 人中对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ( )．

+ = =1 ( )( 参考公式及数据：①回归方程 = ，其中
)
， = ；②
5 = 18.8．
=1 ( )2
=1

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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 2,2]
13.1 或 13
1
14.{1} ∪ ( , )
15.(Ⅰ)设公差为 的等差数列{ }的前 项和为 ，满足 4 = 16， 1， 2， 5成等比数列，
4 = 16 4 1 + 6 = 16
所以 2 = ，整理得 2 ，2 1 5 1( 1 + 4 ) = ( 1 + )
所以 1 = 1， = 2，
故 = 2 1．
(Ⅱ) 8 8 1 1由于 =
2 2 2 +1 (2 1) (2 +1)
2 = (2 1)2 (2 +1)2，
1 1 1 1 2
所以 = ( 12 32 ) + ( 32 52 ) + … +
1 1 1 4 +4
(2 1)2 (2 +1)2 = 1 (2 +1)2 = (2 +1)2．
16.(1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)过点 作 // 交 于点 ，连接 ，
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则 与平面 所成角即为 与平面 所成角，
∵ ⊥平面 ，∴ 为 在平面 上的射影，
∴ ∠ 为直线 与平面 所成角，
∵ / / ， / / ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ = = 1， = = 3，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
在 △ 中， = 2 + 2 = 32 + 32 = 3 2，
在 △ 中，sin∠ = 2 2 = 3 2 = 3 ，
∴ 2直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ．
17.(1)解：函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ’( ) = + + 1，
令 ’( ) = 0，可得 = 1，
①.当 1 ≤ 1，即 ≥ 1 时，函数 ( )在区间[1, + ∞)上单调递增；
②.当 1 > 1，即 < 1 时，函数 ( )在区间[1, 1)上单调递减，在区间[ 1, + ∞)上单调递．
(2)证明：当 = 3 时，不等式 ( ) ≥ 2 2 可化为 3 ≥ 2 2，
2
不等式两边同除以 后整理为 + + 3 0，
( ) = + 2令 + 3，
2
( ) = 1 2 + 1 = + 2 = ( 1)( +2)有 ′ 2 2 2 ，
令 ’( ) > 0 可得 > 1；令 ’( ) < 0 可得 0 < < 1；
故函数 ( )的增区间为(1, + ∞)，减区间为(0,1)，
可得 ( ) ≥ (1) = 1 + 2 + 0 3 = 0，
故不等式 ( ) ≥ 2 2 成立．
2 2 2
18.(1)证明：由余弦定理得 = + ，所以 2 + 2 2 = 2 ，2
2
所以 = 1 [ 2 2 ( +
2 2 )2] = 1 2 2 2 24 2 4 [ ( 2 ) ]
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= 14 (
2 2 2 2cos2 ) = 1 24
2(1 cos2 )
= 1 2 2 2 14 sin = 2 ，
1
所以 = 2 得证．
(2)解：法一：因为 3 + 2 3 = ，
2+ 2 2 2+ 2 2由余弦定理得， 3 2 + 2 3 ，2 =
因为 = 2，代入上式化简得 2 3 2 = 2 ，所以 = 3 ，
2 2 2 2
所以 = 1 2 2 + 2 1 4 4 4 24 [ ( 2 ) ] = 4 [3 ( 2 ) ]
= 12
4 + 8 2 4 = 1 22 ( 4)
2 + 12，
所以当 = 2 时，△ 面积的最大值为 3．

法二：因为 =

= = 2 ，所以 = 2 ， = 2 ，
因为 = 2, 3 + 2 3 = ，
所以 3 + 3 = ，
所以 3 2 + 3 2 = 2 ，
所以 3sin( + ) = ，所以 3 = ，
所以 3 ，所以 ，
2 = 2 = 3
1 2 2所以 = [ 2 2 ( +
2 2
4 2 )
2] = 14 [3
4 ( 4 4 )22 ]
= 1 42 + 8
2 4 = 1 2 22 ( 4) + 12，
所以当 = 2 时，△ 面积的最大值为 3．
(3)解：由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，设 = ，则 2 + 2 = 2，
1
设等腰四面体的外接球半径为 ，所以 = 2 + 22 +
2，
所以 1 = 4 2 = ( 2 + 2 + 2) ，
法一：
2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 = + ，2
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2
sin2 = 1 cos2 = 1 ( + 2 )
2 = 1 ( 2+ 2)( 2+ 2) =
+ +
( 2+ 2)( 2+ 2)，
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2 2+ 2 2+ 2 2
所以 = ，
( 2+ 2)( 2+ 2)

设△ 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 2 = ，
( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)
所以 2 = = ， 2 2+ 2 2+ 2 2
( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)
所以 2 = 2 = 4( 2 2+ 2 2+ 2 2) ，
2 = (
2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)
所以 1 4( 2 2+ 2 2+ 2 2)( 2+ 2+ 2)
，
因为( 2 + 2 + 2)( 2 2 + 2 2 + 2 2) = ( 2 + 2)( 2 + 2)( 2 + 2) + 2 2 2，
2 = (
2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)
所以 1 4( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)+4 2 2 2
，
1 2= 4( +
2)( 2+ 2)( 2+ 2)+4 2 2 2 4 2 2 2
所以 2 ( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)
= 4 + ( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)，
因为 2 + 2 ≥ 2 ， 2 + 2 ≥ 2 ， 2 + 2 ≥ 2 ，
所以( 2 + 2)( 2 + 2)( 2 + 2) ≥ 8 2 2 2，
4 2 2 2 1
所以( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2) ≤ 2，
2 2 2
所以 4 + 4 9( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2) ≤ 2，当且仅当 = = 时，等号成立，
4 2 2 2 4 2 2 2
又( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2) > 0，所以 4 + ( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2) > 4，
4 2 2 2 9 4 < 所以 4 < 4 + 1
9
( 2
≤
+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2) ≤ 2，即 2 2，
2 1 2 1
所以 ≤ 2 < ，所以 29 1 4 的取值范围为[1 9 , 4 )．
法二：
2
因为 = 1 [ 2 2 ( +
2 2 )2] = 1 [( 2 + 2)( 2 + 2△ 4 2 4 )
4] = 1 2 2 2 2 2 2，2 + +
设△ 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 2 = ，
1 2
因为 △ = 2 ，所以 =
△
，代入，
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( 2+ 2)( 2+ 2)( 2+ 2)2 = 2 = ，△ 2 2+ 2 2+ 2 2
( 2+ 2)( 2 = 2 = +
2)( 2+ 2)
所以 2 4( 2 2+ 2 2+ 2 2) ，
(下同法一)．

19. 解：(1) 1+2+3+4+5 0.5+0.6+1+1.4+1.7由题意知 = 5 = 3， = 5 = 1.04，
5 2 =1 = 1
2 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55，
5

=1 ( )(
5
) =1 5 = 5 2 = 5 2 2 = 0.32， =1 ( ) =1 5
= = 1.04 0.32 × 3 = 0.08，
∴ 关于 的线性回归方程为 = 0.32 + 0.08．
当 = 6 时， = 2.00，即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆．
(2)( )根据题意，这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期 的平均值为：

= (1.5 × 20 + 2.5 × 60 + 3.5 × 60 + 4.5 × 30 + 5.5 × 20 + 6.5 × 10) ÷ 200 = 3.5，
1
样本方差为： 2 = 200 [(1.5 3.5)
2 × 20 + (2.5 3.5)2 × 60 + (3.5 3.5)2 × 60 + (4.5 3.5)2 × 30 +
(5.5 3.5)2 × 20 + (6.5 3.5)2 × 10] = 1.7．
3 + 1 × 100 20 60中位数的估计值为： 60 ≈ 3.3．
( )根据给定的频数表知：
任意抽取 1 名拟购买新能源汽车的消费者，
120 3
对补贴金额的心理预期不低于 3 万元的频率为200 = 5，
由题意得 ～ (3, 35 )，
( = 0) = 0 3 0 2 3 83( 5 ) ( 5 ) = 125，
( = 1) = 1( 3 )1( 2 2 363 5 5 ) = 125，
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( = 2) = 2( 3 )2( 2 )1 = 543 5 5 125，
( = 3) = 3( 3 3 2 0 273 5 ) ( 5 ) = 125，
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
8 36 54 27125 125 125 125
所以 ( ) = 0 × 8 + 1 × 36 + 2 × 54125 125 125 + 3 ×
27 225 9
125 = 125 = 5．
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