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2024-2025 学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ∈ + .已知 ，复数 = 1+2 在复平面内对应的点位于第二象限，则 的取值范围为( )
A. ( ∞, 2) B. ( ∞, 12 ) C. (
1
2 , + ∞) D. ( 2, + ∞)
2.已知向量 ， 满足| | = 5， = 5，则| + |的最小值为( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
3.已知角 终边上一点为( 2,4)，则角 的正切值为( )
A. 5 2 5 15 B. 5 C. 2 D. 2
4.在△ 中， = 2 2， = 3， = 3，则△ 的面积为( )
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5
5.在深圳高级中学 2024 年“创意之光”文创设计大赛中，某学生设计了一把“紫堡文创”扇子.其扇面可
2
以近似的理解为扇形 截去同心扇形 所得图形，已知 = 4， = 1，∠ = 3，则该扇面的近
似面积为( )
A. 14 3
B. 16 3
C. 5
D. 8
6.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
7.要得到函数 = cos(2 + 6 )的图象，只需将函数 = 2 的图象( )
A. 向左平移3个单位 B.向左平移6个单位 C.向右平移3个单位 D.向右平移6个单位
8 △ 1 2 2 = cos(2 ) . 中， ，则 的取值范围是( )
A. ( 1 2 1 2 1 1 12 , 3 ) B. ( 3 , 3 ) C. ( 3 , 2 ) D. (0, 2 )
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 6， = 6， = 2，则 的可能取值为( )
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
10.如图，在正四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列结论正确的是( )
A.设 ∩平面 = 1，则 = 3
B.三棱锥 与正四棱锥 的体积之比为 1：4
C. 5若 = 2 ，则正四棱锥 内切球与外接球的半径之比为 1：6
D.正四棱锥 被平面 分成的上、下两部分的体积之比为 1：5
11.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，其中 ( 3 , 2) (
10
， 3 , 0)，则( )
A. ( )的最小正周期为 4
B. ∈ [0, 2 3 ]时， ( )的最大值是 3
C. ( ) 2 的图象向右平移 3个单位后为奇函数
D. ( )与 ( ) = 2 12 有相同的零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 对应的复数为 = 1 + ，复数 可以将向量 按逆时针方向旋转______得到(填最小正角)．
13.已知△ 中， = = 4， = 2，将顶点 绕棱 旋转到 ′，当 ′ = 2 2时，三棱锥 ′
的体积为______．
14.如图，已知直线 1// 2，直线 垂直于 1和 2，垂足分别为 ， .若点 是线
段 上的定点， ， 两点分别是直线 1， 2上的动点，且 = 1， = 2，
∠ = 3，则△ 面积的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，向量 = ( , 2 )， = ( , 1)满足 // ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2，求△ 的周长的最大值．
16.(本小题 15 分)
在锐角△ 中，角 ， ， 所对应边分别为 ， ， ，2 ( + ) = 3 ．
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(1)求 ；
(2)若 = 3，求 2 + 2 + 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知直线 = 2 6和 = 3是 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < )图象的两条相邻的对称轴．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 ( ) 1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ( > 0)倍，得到函数 = ( )的图象.若 ( )
在区间(0, )上恰有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，四面体 中， ⊥ ， = = 2， = = 5，∠ = ∠ ， 为 的中点，点
在 上．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)当△ 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
19.(本小题 17 分)
已知：
①任何一个复数 = + 都可以表示成 ( + )的形式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为
始边，向量 所在射线(射线 )为终边的角，叫做复数 = + 的辐角， ( + )叫做复数 = +
的三角形式．
② = + 被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程 = 1( 为正整数)有 个不同的复数根．
(1)设 = 1 + 3 ，求 20242 2 ；
(2)试求出所有满足方程 6 = 1 的复数 的值所组成的集合；
(3) 复数 = cos 2 20231012 + 1012，求( 1)( 1)…( 1)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.2 143
14.2 3
15.(1)因为 = ( , 2 )， = ( , 1)，且 // ．
所以 = 2 ，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，所以 = 12，
因为 ∈ (0, ) = ，所以 3；
(2) (1) 由 得 = 3，因为 = 2，
所以由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ，
4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + 2 ( + )
2
所以 2 ) = 4 ，
所以( + )2 ≤ 16，所以 + ≤ 4，当且仅当 = 时取等号，
所以 + + ≤ 6，所以△ 的周长的最大值为 6．
16.(1) ∵ 2 ( + ) = 3 ，
由正弦定理得 2 ( + ) = 3
∴ 2 ( + ) = 3
即 2 = 3
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又在锐角△ 中，有 ∈ (0, 2 )，
∴ = 32 ， =

3；
(2) (1) + = 2 结合 可得 3，
由 = 3 ，则根据正弦定理有 = = = 2，
得 = 2 ， = 2 ，
根据余弦定理有 2 = 2 + 2 2 ，得 2 + 2 = 3 + ，
∴ 2 2
2
+ + = 3 + 2 = 3 + 8 = 3 + 8 ( 3 )

= 3 + 4 3 + 4 2 = 3 + 2 3 2 2 2 = 5 + 4 (2 6 )
0 < <
又△ 2 为锐角三角形，则 2 ，解得 ∈ ( ,
)，
0 < 3 <
6 2
2
2 6 ∈ (
, 5 16 6 )，sin(2 6 ) ∈ ( 2 , 1]．
故 2 + 2 + = 5 + 4 (2 6 ) ∈ (7,9]
17.(1)由题意得 ( )的最小正周期 = 2 × ( 2 3 6 ) = ，
2
根据 = ，解得 = 2，

根据 = 6是 ( )图象的一条对称轴，可得 2 × 6 + = 2 + ， ∈ ，

结合 0 < < ，解得 = 6，所以 ( ) = sin(2 + 6 )；
(2)将 ( ) 1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ( > 0)倍，
可得到函数 = ( ) 的图象，所以 ( ) = ( ) = 2 (2 + 6 )，
当 ∈ (0, )时，2 + ∈ ( 6 6 , 2 +

6 )，
因为 ( )在区间(0, )上恰有两个零点，
所以 2 < 2 + ≤ 3 11 17 11 176 ，解得12 < ≤ 12，实数 的取值范围为( 12 , 12 ]．
18.(1)证明：因为 = ， 是 的中点，所以 ⊥ ．
因为 = ，∠ = ∠ ， = ，根据全等三角形边角边的判定，
所以△ ≌△ ，
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所以 = ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为 ⊥ ， = = 2，
所以△ 是等腰直角三角形，所以 = 2， = 1．
依题意 = = 5，所以 = 2，
则 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
所以∠ 即为直线 与平面 所成的角．
在 △ 中，sin∠ = 2 5 = 5 ，
所以直线 与平面 2 5所成角的正弦值为 5 ．
(3)因为 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
由(1)已证△ ≌△ ，所以∠ = ∠ ，
因为 = ，∠ = ∠ ， = ，根据全等三角形边角边的判定，
所以△ ≌△ ，
所以 = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
1
因为 △ = 2 ，所以当 最短时，△ 的面积最小．
当 ⊥ 时， 最短，过 作 ⊥ ，垂足为 ，
在 △ 1 = 1中，2 2 ，解得 =
2 5
5 ，
= 12 ( 2 5所以 )2 55 = 5 ， = 5 =
4 5 4
5 ，所以 = 5．
过 作 ⊥ ，垂足为 ，则 // ，
所以 ⊥平面 = 4 4，且 = 5，所以 = 5，
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1 1 1 4 8
所以 = 3 △ = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 15．
19. (1) = 1 + 3 = cos 2
2
解： 由 2 2 3 +
2 3
3 = ，
2
则 3 = ( 3 )3 = 2 = 2 + 2 = 1，
则 2024 = 2022 2 = 2 = cos 43 +
4
3 =
1 32 2 ；
(2)设 = + ，则 6 = ( + )6 = ( )6 = 6 = 6 + 6 = 1，
故 6 = 1，6 = 2 ， ∈ ，
则当 = 0，1，2，3，4 5 2 4 5 ， 时，分别对应的 = 0, 3 , 3， , 3 , 3，
= 1, 1 + 3 , 1 + 3 , 1 1 3 , 1 3故相应的 2 2 2 2 ， 2 2 2 2 ，
1 3 1 3 1 3 1 3故由所有的复数 所组成的集合为{ 1,1, 2 + 2 , 2 2 , 2 + 2 , 2 2 }；
(3)若 = + ，则 = ( + ) = ( ) = = + ，

因为 = cos 1012 + 1012，
则( )2024 = (cos 2 2 20242024 + 2024 ) = 2 + 2 = 1, ∈ , ≤ 2023，
易知，关于 的方程 2024 1 = 0 的根为 1， ， 2…， 2023，
故 2024 1 = ( 1)( )( 2) ( 2023)，
又 2024 1 = ( 1)(1 + + 2 + 2023)，
故( )( 2) ( 2023) = 1 + + + 2023，
令 = 1，可得(1 )(1 2) (1 2023) = 1 + 1 + + 12023 = 2024，且 2023 为奇数，
所以( 1)( 2 1) ( 2022 1) = 2024．
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