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2024-2025 学年江西省宜春中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.设集合 = { | < 1}， = { ∈ |( 3)( + 1) ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. (1,3] B. (0,1) C. { 1,2,3} D. {2,3}
2 ( ) lim ( 0 2 ) ( ).设函数 满足 0 = 2，则 ′( →0 0) =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3 + sin( ), ≤ 0
3.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) = 3 ，则 (4) =( )
( 1), > 0
A. 3 B. 1 3 C. 32 2 2 D. 1 +
3
2
4.记等差数列{ }的前 项和为 ，若 10 = 0， 6 = 2 3 12，则 1 =( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( + 3) = ( )，若 ( 1) = 2，则 (100) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6.等比数列{ }的前 项积为 ， 9 = 512，则 3 + 7的最小值是( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
7.若定义在 上的奇函数 ( ) ∈ ( ∞,0) ≠ ( 1) ( ，对 ， ，且 有 2)1 2 1 2 > 0，且 (2) = 0，则满足 ( 2 1
1) ≥ 0 的 的取值范围是( )
A. [ 1,1] ∪ [3, + ∞) B. [ 1,0] ∪ [1,3] C. [ 1,0] ∪ [1, + ∞) D. [ 3, 1] ∪ [0,1]
8.已知实数 ， ， 满足 = = ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的假命题是( )
A.命题“ ∈ ， 2 + ≥ 0”的否定是： 0 ∈ ， 20 + 0 < 0
B.设 ∈ ，则“2 ≥ 0”是“| 1| ≤ 1”的充分而不必要条件
C.若 + = 1 1 + 1，则 的最小值为 4
D. > 2 > 2
10.已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = + 1( ∈ )，设其前 项和为 ，则( )
A. 3 = 6 B. 6 = 56 C.
1023
=1 ( 1)
2 = 10 D.
1
+
1
+
1 1
1 2
+ + < 23
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11.函数 = 叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数
( ) = 2 1 1 ，则下列结论正确的是( )
A. 3函数 ( )在(0, 2 )上单调递减
B.函数 ( )既有极大值，也有极小值
C.方程 ( ( )) = 0 有 2 个不同的实数解
D.在定义域内，恒有 (2 ) + 2 ( ) = 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 > 0， > 0，且 = 9 1 1，则 + 的最小值为______．
13.记 为数列{ }的前 项和，若 = 2 + 1，则 6 = ．
14 1.已知函数 ( ) = 22 恰有 2 个极值点，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + 2 + 1．
(1)求函数 ( )的单调区间以及极值；
(2)求函数 ( )在[1, 2]上的最小值．
16.(本小题 15 分)
在数列{ }
1 1 1
中， 1 = 3， = + 2 + 1． +1
(1) 1证明：数列{ 2 }是等差数列．
(2)求{ }的通项公式．
(3) 1若 = ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， = = 2 2， = = = = 4， 为 的中点．
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(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若点 在棱 上，且二面角 为 30°，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为 4，一条渐近线的方程为 = 2 ，过点(6,0)的直线 与
的右支交于 ， 两点．
(1)求 的标准方程；
(2) 是 轴上的定点，且∠ = 90°．
( )求 的坐标；
( )若△ 的外接圆被 轴截得的弦长为 16，求外接圆的面积．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求曲线 = ( )在点( 3 , (

3 ))处的切线方程；
(2)证明： ∈ (0, 2 )时， ( ) < ；
(3)判断函数 = 3 ( ) 的零点个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13. 63
14.(0, 1 )
15.解：(1) ( ) = + 2 + 1 的定义域是(0, + ∞)．
又导函数 ′( ) = 1 ，令 ′( ) < 0，得 > ，令 ′( ) > 0，得 0 < < ，
因此 ( )的单调递减区间为( , + ∞)，单调递增区间为(0, )，
因此 ( )的极大值为 ( ) = + 1，无极小值．
(2)根据第一问可知，函数 ( )在( , 2]上单调递减，在[1, ]上单调递增，
因此函数 ( )在[1, 2]上的最小值为 { (1), ( 2)}．
因为 (1) = 3， ( 2) = 1，所以 ( 2) < (1)，
所以函数 ( )在[1, 2]上的最小值为 1．
16. (1) 1 1 1解： 证明：在数列{ }中， 1 = 3， = + 2 + 1， +1
1 1
可得 2 +1 = + 2 + 1 2 +1 = 1 2 + 1， +1
1
可得{ 2 }是首项为 3 2 = 1，公差为 1 的等差数列；
(2) 1由等差数列的通项公式可得 2 = 1 + 1 = ，
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即有 1 = +2 ；
(3) 1若 = ，则 = + 2 ，
可得数列{ }的前 项和 = (1 + 2 + 3 + . . . + ) + (2 + 4 + 8 + . . . + 2 )
1 = 2 ( + 1) +
2(1 2 )
1 2 =
1 22 +
1 +1
2 2 + 2 ．
17.解：(1)证明：连接 ，
∵ = = 2 2， 是 的中点，
∴ ⊥ ，且 = 2，
又 = = = = 4，
∴ ⊥ ， = 2 3，
则 2 = 2 + 2，
则 ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)解：建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系如图：
(0, 2,0)， (0,0,2 3)， (0,2,0)， (2,0,0)，
= ( 2,2,0)， = 2, 2,0
设 = = ( 2 , 2 , 0)，0 1，
则 = = ( 2 , 2 , 0) ( 2, 2,0) = (2 2 , 2 + 2,0)，
则平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = (0, 2, 2 3)，
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· = 2 2 3 = 0
则
·
,
= 2 2 + 2 + 2 = 0
令 = 1，则 = 3， = 3( +1)，1
即 = 3( +1)1 , 3, 1 ，
∵二面角 为 30°，
∴ 30° = 3| || | = 2 ，
3( +1)
1 3
即 =2 2 ，
1· 3· +11 +3+1
= 1解得： 3或 = 3(舍)，
则平面 的法向量 = (2 3, 3, 1)，
= (0,2, 2 3)，
2 3 2 3 4 3 3与平面 所成角的正弦值 = |cos < ， > | = 16 16 = 16 = 4 ．
18.解：(1) 因为 的实轴长为 2 ，渐近线方程为 =± ，
所以 2 = 4 2， = 2 ，解得 = 2， = 2，

2 2
所以 的标准方程为 4 2 = 1．
(2)( )设直线 的方程为 = + 6， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( , 0)，
= + 6,
联立 2 2 化简得( 2 2) 2 + 12 + 32 = 0．
4 2 = 1,
因为直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，
2 2 ≠ 0
由 2 = (12 )2 4 × 32 × ( 2 2) > 0，整理得 ≠ 2，
= 0 1 > 2 1则 或 2 或 <
2
2 ，
解得 2 < < 2．
由∠ = 90°，可得 = 0，即( 1 , 1) ( 2 , 2) = 0，
将 1 = 1 + 6， 2 = 2 + 6 代入上式得( 1 + 6 )( 2 + 6 ) + 1 2 = 0，
2 1 2 + (6 )( 1 + 2) + (6 )2 + 1 2 = 0，
将 1 + =
12 32
2 2 2， 1 2 = 2 2代入上式，
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32 12
并化简得 2 × 2 2 2 + (6 ) × ( 2 2 ) + (6 ) +
32
2 2 = 0，
整理得 2(32 72 + 12 + (6 )2) 2(6 )2 + 32 = 0，
32 72 + 12 + (6 )2 = 0
因为上式对任意 都成立，所以 ，
2(6 )2 + 32 = 0
解得 = 2，所以 (2,0)．
( )因为 ⊥ ，所以△ 外接圆是以 为直径的圆，记为圆 ，
( + 因为圆心 1 2 , 1+ 22 2 )
12 6
，即 ( 2 2 , 2 2 )，
12 6
所以半径 = | | = ( 22 2 2) + (
2
2 2 ) ．
因为△ 外接圆被 轴截得的弦长为 16，
2 = 82 + ( 6 )2( ) ( 12所以 2 2 ，即 2 2 2)
2 = 82，解得 2 = 4 4或 2 = 5，
12因为直线 与 的右支交于 ， 两点，所以2 2 > 0，
所以 2 = 45，(
2 = 4 舍去)，代入( )可得 2 = 84，
所以△ 外接圆的面积为 84 ．
19.解：(1)由题意， ′( ) = 1 ，
( ) = 1 3则 ′ 3 2，而 ( 3 ) = 3 2 ，
3 1
所以曲线 = ( )在点( 3 , ( 3 ))处的切线方程为 ( 3 2 ) = 2 ( 3 )，即 3 6 + 3 3 = 0．
(2)证明：不等式 ( ) < < + 2 > 0，

令函数 ( ) = + 2 , 0 < < 2，即 ( ) = + 2 ，
2 2
而 0 < < 1 ( ) = + cos +sin ，则 ′ cos2 2 = +
1 1
cos2 2 > 2 2 > 0，

则函数 ( )在(0, 2 )上单调递增， ( ) > (0) = 0，
所以 ( ) < ．
(3)函数 = 3 ( ) 的零点个数，即方程 3 ( + 3) = 0 根的个数，
而 = 3 3 时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程 +3 = 0 根的个数，
令 ( ) = 3 +3 ，原函数零点个数即为函数 ( )的零点个数，
当 < 3 3 9时， +3 = 3 +3 > 3，而 1 ≤ ≤ 1，则 ( ) > 0，
因此函数 ( )在 < 3 时无零点；
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当 3 < ≤ 0 时， ′( ) = 9( +3)2 ≥ 0，函数 ( )在( 3,0]上单调递增，
( ) ≤ (0) = 0，因此函数 ( )在 3 < ≤ 0 时只有一个零点 0；
0 < < 9 18当 2时，令 ( ) = ′( ) = ( +3)2 ，则 ′( ) = ( +3)3 + ，
( ) (0, ) (0) = 2 < 0 ( 显然函数 ′ 在 2 上单调递增，而 ′ 3 ， ′ 2 ) > 0，
则存在 ∈ (0, 2 )

使得 ′( ) = 0，当 0 < < 时， ′( ) < 0；当 < < 2时， ′( ) > 0，
( ) (0, ) ( , 函数 ′ 在 上单调递减，在 2 )上单调递增，又 ′( ) < ′(0) = 0,

′( 2 ) > 0，

则存在 0 ∈ ( , 2 )，使得 ′( 0) = 0，当 0 < <

0时， ′( ) < 0；当 0 < < 2时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0, ) 0 上单调递减，在( 0, 2 )上单调递增，
而 ( 0) < (0) = 0, (

2 ) > 0，因此函数 ( )在(0, 2 )上只有一个零点；
≥ 3 9 9当 2时， +3 = 3 +3 ≥ 3 > 1 ≥ ，即 ( ) > 0，2+3

因此函数 ( )在 ≥ 2时无零点，
所以函数 ( )有 2 个零点，即函数 = 3 ( ) 的零点个数为 2．
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