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2024-2025 学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 4 .若复数 1 ，则复数 的模等于( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
2.设命题 ： ∈ ， 2 > 2 + 5，则 的否定为( )
A. ∈ ， 2 > 2 + 5 B. ∈ ， 2 ≤ 2 + 5
C. ∈ ， 2 ≤ 2 + 5 D. ∈ ， 2 < 2 + 5
3.已知 (0,0)， ( 2, 1)， ( , 2)， (2, 1)，若 与 共线，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 2 或 1
4.已知 3 = 2 3， ∈ (0, 2 )，则 cos(

6 ) =( )
A. 2 2 1 1 2 23 B. 3 C. 3 D. 3
5.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共
有( )
A. 45 15 种 B. 20 40 种 C. 30 30 种 D. 40 20400 200 400 200 400 200 400 200种
6.如图， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱的中点，则( )
A. //
B. //
C. ⊥
D. //平面
7.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 是 的中点， 是 1上的动点，则三棱锥 外接球
表面积的最小值为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
2 2
8 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点分别为 1， 2，且以线段 1 2为直径的圆与直线 +
2 = 0 相交，则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. (0, 63 ) B. (
6
3 , 1) C. (
2 2
3 , 1) D. (0, 3 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 22 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.校园合唱比赛中，高一(4)班演唱结束后，10 位裁判分别进行打分，结果如下(满分 10 分)：9.0，8.8，9.0，
9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是( )
A.该班的平均得分是 9.0 分
B.该班得分的第 70 百分位数是 9.1 分
C.该班得分的方差是 0.72
D.若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小
10.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ， = 2 ，点
为线段 上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 2该四棱锥的体积为 3
B.一定存在点 ，使 //平面
C.一定存在点 ，使 ⊥平面
D. + 的最小值为 2
11.已知圆 1：( + 2)2 + 2 = 4，圆 2 22：( 2) + = 16，动圆 与圆 1外切于点 ，与圆 2内切于点 ，
圆心 的轨迹记为曲线 ，则( )
2
A.
2
的方程为 9 + 5 = 1
B. ∠ 的最小值为 120°
C. 1 + 2 ≤
1
2
D.曲线 在点 ( 0 0, 0)处的切线方程为 9 +
0
5 = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线 2 = 的焦点和准线的距离等于______．
13.(1 2 )8 展开式中第 4 项的系数是______．
14.克罗狄斯 托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几
何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边
形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形 是圆 的内接四边形，且 =
3 , ∠ = 2∠ .若 + = 4 3，则圆 的半径为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 + = 2 ．
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(1)求角 ；
(2)若 点在线段 上，且 平分∠ ，若 = 2 ，且 = 3，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
( ) = 2 已知函数 1．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数 ( )的单调区间；
(Ⅲ)已如函数 ( ) = 3 3 + 2 2 + 1，若 1， 2 ∈ [1, ]，不等式 ( 1) ≤ ( 2)恒成立，求实数 的取值范
围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)( + 2)( + 3) ( + )，其中 为正整数．
(1)当 = 2 时，求 2( )在 上极值点；
(2)当 1 ≤ ≤ = 100 ′(0)时，记数列 = ，有限数列{ }是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求 ′(0) ′(0)
数列{ }的前 100 项和(化成最简形式)．
18.(本小题 17 分)
若数列{ }(1 ≤ ≤ , ∈ , ∈ )满足 ∈ {0,1}，则称数列{ }为 项 0 1 数列.集合 是由所有的
项 0 1 数列构成的，现从集合 中任意取出两个数列{ }，{

}，记随机变量 = =1 | |．
(1)求集合 中元素的个数；
(2)求概率 ( = )( = 1,2, , )的值；
(3)若 的期望 ( ) > 16，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 2： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ，椭圆 的下顶点和上顶点分别为 1， 2且| 1 2| = 2，
过点 (0,2)且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 = 2 时，求△ 的面积；
(3)求证：直线 1 与直线 2 的交点 恒在一条定直线上．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.5
13. 448
14.2
15.解：(1) + = 2 ，
则由正弦定理可得， + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
∵ sin( + ) = 2 ，
∴ = 2 ，
∵ 0 < < ，
∴ = 1 = 2，即 3．
(2) 点在线段 上，且 平分∠ ，
则∠ = ∠ = 6，
设 = ， = ， = ，
则 = 2 ，
3 3 2
由正弦定理可得， = sin∠ ， = sin∠ ，即 = 1， = 1 ，
2 2

则 =

= 2，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理可得， = +(2 ) ( 3) = +(3 ) 2 2 22 2 2 3 ，解得 6 + 2 9 = 0，
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又 = 2 ，
则 2 = 2 32，
2 2 27
cos∠ = + (3 )
2 1 2+4 2 9 2+ 2 1 3
2 = 2，即 4 2 = 2，解得 = 2，
则 = 3，
故△ 1的面积为2 =
1
2 ×
3
2 × 3 ×
3 9 3
2 = 8 ．
16. 2 解：(Ⅰ) ∵ ( ) = 1，定义域是(0, + ∞)，
∴ (1) = 1 ( ) = 2 (1 ln )， ′ 2 ， ′(1) = 2 ，
故切线方程为 + 1 = 2 ( 1)，即 2 2 1 = 0；
(Ⅱ)由(Ⅰ) ( ) = 2 (1 ln )′ 2 ，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < ，令 ′( ) < 0，解得 > ，
故 ( )在(0, )单调递增，在( , + ∞)单调递减；
(Ⅲ)由(Ⅱ) ( ) 2 得 的极大值是 ( ) = 1 = 1，
即 ( )的最大值是 ( ) = 1，
∵ ( ) = 3 3 + 2 2 + 1，∴ ′( ) = 9 2 + 4 ，
4
令 ′( ) = 0，解得 = 0 或 = 9，
若 1， 2 ∈ [1, ]，不等式 ( 1) ≤ ( 2)恒成立，
则 ∈ [1, ]时， ( ) = 1 ≤ ( ) 恒成立，
①当 4 99 < 1 即 > 4时， ( )在[1, ]上单调递增，
此时 ( ) = (1) = 4 + 2 ，令 4 + 2 ≥ 1 ≥
3
，得 2；
4 9 9
②当 1 ≤ 9 ≤ 时，即 4 ≤ ≤ 4时， ( )在[1,
4 ) 4 9 单调递减，在( 9 , ]单调递增，
4 3
此时 ( ) = ( 9 ) =
32
243 + 1，
32 3
令 243 + 1 ≥ 1，解得 ≥ 0，不符合题意；
4 ③当 9 >
9
即 < 4时， ( )在[1, ]单调递减，
故 ( ) = ( ) = 3 3 + 2 2 + 1，
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3 3 + 2 2 + 1 ≥ 1 ≥ 3 令 ，解得 2，不符合题意
综上，实数 3的取值范围是[ 2 , + ∞)．
17.(1)由题意可得 2( ) = ( + 1)( + 2) = 3 + 3 2 + 2 ，
令 32′( ) = 3 2 + 6 + 2 = 0，解得 = 1 ± 3 ，
3
当 ∈ ( ∞, 1 3 )时， 2′( ) > 0， 2( )单调递增；
当 ∈ ( 1 33 , 1 +
3
3 )时， ′2( ) < 0， 2( )单调递减；
当 ∈ ( 1 + 33 , + ∞)时， 2′( ) > 0， 2( )单调递增；
故 2( )
3 3
的极大值点为 1 3 ，极小值点为 1 + 3 ；
(2) ′( ) = ′[( + 1)( + 2)( + 3) ( + )] + [( + 1)( + 2)( + 3) ( + )]′，
故 ′(0) = (0 + 1)(0 + 2)(0 + 3) (0 + ) = !，则 =
!
!( )! = = 100，
又{ }是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故 = 2 1，
则 = (2 1) 100，其中 1 ≤ ≤ 100，
= + 1 2 3 1001 1 2 2 + 3 3 + + 100 100 = 1 100 + 3 100 + 5 100 + + 199 100，
则考虑 = 1 = 1 0 1 2 3 100100 + 1 100 + 3 100 + 5 100 + + 199 100，
则 = 199 0100 + 197 1100 + 195 2100 + 193 3100 + + ( 1) 100100，
则 2 = 198 0 + 198 1 + 198 2 3100 100 100 + 198 100 + + 198 100100，
2 = 198( 0100 + 1 2 3100 + 100 + 100 + + 100100) = 198 × 2100，故 = 99 × 2100，
故 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + + 100100 100 = + 1 = 99 × 2 + 1．
18.(1)根据数列中 1 的个数可得，集合 中元素的个数为 0 + 1 + 2 + + = 2 ，
所以集合 中共有2 个元素；
(2)因为数列{ }，{ }为 中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
所以 的所有可能取值为 1，2， ， ，
当 = ( = 1,2, , )时，数列{ }，{ }中有 项取值不同，有 项取值相同，
从 项中选择 项，{ }和{ }在 项中的某一项数字相同，其余 项，两者均在同一位置数字相反，
所以问题为组合问题，所有的情况会重复 1 次，
2
所以共有 2 种情况， 2
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2

2
所以 ( = ) = 2 =

2 2 1 ( = 1,2, , )；
2
2
2 (3)由(2)可知 ( = ) = 2 2 = 2 1 ( = 1,2, , )，
2
所以 的分布列为：
1 2 3 . . .

1 2 3 . . .
2 1 2 1 2 1 2 1
= ! ( 1)! 1 !( )! = ( 1)![( 1) ( 1)]! = 1 ( ∈ , 1 ≤ ≤ )，
1 2
所以 ( ) = 1 1 1 2 3 0 12 1 + 2 2 1 + + 2 1 = 2 1 ( + 2 + 3 + + ) = 2 1 ( 1 + 1 +
2
1
1 + + 1 1) =
2
> 162 1 ．
= 2
1
令 2 1 ，
+1 = ( +1) 2
2 1 ( +1) (2 +1 2)则 2 +1 1 2 1
= (2 +1 1) > 1，
所以数列{ }是递增函数．
因为 =

2 (1 +
1
)2 1 ，
所以 3131 = 2 × (1 +
1 32 1
231 1 ) < 16， 32 = 2 × (1 + 232 1 ) > 16，
所以 的最小值为 32．
= = 2
19. 2解：(1)由题意可得 2 = 2 ，解得：
2 = 2， 2 = 1，
2 = 2 2
2
所以椭圆的方程为： 22 + = 1；
(2)由题意可得直线 的方程为： = 2 + 2，设 ( 1, 2)， ( 2, 2)，
2
2 +
2 = 1
联立 ，整理可得：9 2 + 16 + 6 = 0，
= 2 + 2
+ 16 6 21 2 = 9， 1 2 = 9 = 3，
2
所以弦长| | = 1 + 22 ( + )2 4 = 5 161 2 1 2 81 4 ×
2
3 = 5
2 10
9 ，
2到直线 的距离 = 5，
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1
所以 △ = 2 × | | =
1
2 × 5
2 10 2 = 2 109 5 9 ；
(3)证明：设直线 的方程为： = + 2，设 ( 1, 2)， ( 2, 2)，
= + 2
联立 2 2 ，整理可得：(1 + 2
2) 2 + 8 + 6 = 0，
2 + = 1
所以△= 64 2 4 × 6 × (1 + 2 2) > 0，可得： 2 > 32，
且 1 + 2 =
8 6
1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
由(1)可得 1(0, 1)， 2(0,1)，设 ( , )，
由 ， +1 ， 三点共线，所以 = 1+1 = 1+3 31 1
= +
1
，①
1
1 1 +1 1
由 ， ， 2三点共线： =
2 = 2 = + ，②2 2 2
3 8
+ × 3 +1 + 3 3 3( + )由① ② 可得： = 4 + 1 2 = 4 + 1+2 2 6 = 0，1 2
1+2 2
1
所以可得 4 2 = 0，解得： = 2，
1
所以点 恒在直线 = 2上．
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