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2024-2025 学年广西南宁三十六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足 (1 + ) = | 7 + 3 |，则复数 =( )
A. 2 B. 2 + C. 2 2 D. 1 + 2
2.设 = ( ,12)， = (2 , 6)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 6 B. 0 C. 6 D. ±6
3 2 .某圆锥的侧面展开图是面积为 3 ，圆心角为 3的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )
A. 92 B. 4 2 C. 2 2 D. 2
4.一艘轮船北偏西 65°方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为 16 海里，该轮船以 20 海里/时的速度沿南
偏西 55°的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为( )
A. 18 海里 B. 16 海里 C. 14 海里 D. 12 海里
5.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出
的直观图，其中 ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，则原四边形 的周长为( )
A. 2 35 + 6 B. 2 5 + 6
C. 12 D. 2 33 + 6
6.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考
科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这
三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件 =“选择生物学科”， =“选择一门理科学科”，
=“选择政治学科”， =“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是( )
A. 和 是互斥事件但不是对立事件 B. 和 是互斥事件不是对立事件
C. ( ) + ( ) = 1 D. ( ∪ ) = ( ) + ( )
7.如图，有两个相同的直三棱柱，高为 1，底面三角形的三边长分别为 3，4，5，用这两个三棱柱拼成一个
三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为( )
A. 36 B. 38 C. 40 D. 42
8.△ 中，sin( 2 ) = 2

，则 的取值范围是( )
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A. ( 1, 1 ) B. ( 1 1 1 2 1 22 3 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) D. ( 3 , 3 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数 ( ) = sin( + ), ( > 0, | | < 2 )
1
的两条相邻对称轴距离为2，且 (0) = 2，则( )
A. = B. 6 点( 12 , 0)是函数 ( )的对称中心
C. 函数 ( )在( 6 , )上单调递增 D.直线 = 3是函数 ( )图象的对称轴
10.在△ 中， = 2, = 3, = 3， 为边 上一动点，则( )
A. = 7
B. △ 21的外接圆半径为 3
C.当 为 7中点时， = 2
D.当 6 3为角 的角平分线时， = 5
11.如图，在棱长为 2 的正方体中 1 1 1 1， 为线段 1的中点， 为
线段 1 上的动点(含端点)，则下列结论正确的有( )
A. 9过 ， 1， 三点的平面截正方体 1 1 1 1所得的截面的面积为2
B.存在点 ，使得平面 / /平面 1
C.当 在线段 1 上运动时，三棱锥 1的体积不变
D. + 的最小值为 2 2 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,0)，向量 = (1,2)，则 在 上的投影向量是______(注：本题答案用坐标表示)．
13.在某次活动中，登记的 8 个数据 1， 2， 3，…， 8的平均数为 8，方差为 16，其中 1 = 7.后来发现 1
应该为 10，并且漏登记了一个数据 14，则修正后的 9 个数据的平均数为______，方差为______．
14.在三棱锥 中， ⊥ ，点 在底面的投影 为△ 的外心，若 = 4， = 3， = 5，则
三棱锥 的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin( ) + sin( + ) = ．
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(1)求角 ；
(2)若 = 2 3，△ 的面积为 2 3.求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”
( = 认可程度平均分工作的认可程度，若学生认可系数 认可系数 100 )不低于 0.85，“美食”工作按原方案继续实
施，否则需进一步整改.为此后勤部门随机调查了该校 600 名学生，根据这 600 名学生对“美食”工作认可
程度给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方
图．
(1)求频率分布直方图中 的值和第 70 百分位数(结果保留两位小数)；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于 80 分的学生中，按照调查评分
的分组，分为 3 层，通过分层随机抽样抽取 30 人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
17.(本小题 15 分)
天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；
绝对星等是假定把恒星放在距地球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领.如果两颗
恒星的亮度分别为 1， 22，视星等分别为 1， 2，那么 2 1 = 2.5 1
(1)已知太阳的视星等是 26.70，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是 1.47，求太阳与天狼星的亮度之比；
(保留两位有效数字，100.092 = 1.235…)
(2) 32.616如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是 ， ，距地球的距离是 光年，那么 = + 5 .已知
天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表：
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星体 视星等绝对星等
天狼星 1.47 1.44
织女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序；(直接写出结果)
(3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？
18.(本小题 17 分)
在△ 中， = 2 ， 为 中点， 与 交于点 ．
(1)设 = ，求实数 的值；
(2)若∠ = 90°， = 2， = 3，设 是 上一点，且 = ，求 的值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在矩形 中， = 4， = 2，将△ 沿 翻折至△ 1 ，且 1 = 2 3，如图 2 所示．
在图 2 中：
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 ；
(2)求点 1到平面 的距离 ；
(3)求二面角 1 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,0)
13.9 1589
14.62516
15(1)因为 sin( ) + sin( + ) = ，
所以 + + = ，
所以 2 = ，……………(4 分)
因为 ≠ 0，所以 = 12，
又因为 0 < < ，所以 = 3；
(2) 1因为 △ = 2 ，
1
所以 2 3 = 2

3，即 = 8，
又由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
所以(2 3)2 = 2 + 2 2 3，
整理得： 2 + 2 = 20，
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 36，解得 + = 6，
所以△ 的周长为 + + = 6 + 2 3．
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16.解：(1)( + 0.015 + 0.02 + 0.03 + 0.025) × 10 = 1，
解得： = 0.01；
70 80 + 0.7 0.1 0.15 0.2第 百分位数估计为 0.03 ≈ 88.3；
(2)低于 80 分所占的频率为 0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.45，
低于 80 分的共 600 × 0.45 = 270 人，
[60,70)分的共 90 人，应选取[60,70)分 30 × 90270 = 10 人；
(3)认可程度平均分为：

= 55 × 0.01 × 10 + 65 × 0.015 × 10 + 75 × 0.02 × 10 + 85 × 0.03 × 10 + 95 × 0.025 × 10 = 79.5，
设认可程度评分第 60 百分位数为 ，则( 80) × 0.03 + 0.2 + 0.15 + 0.1 = 0.6，解得 = 85，
79.5
因此认可系数= 85 < 0.95，所以需要进一步整改．
17.(1)已知太阳的视星等是 26.70，天狼星的视星等是 1.47，
设太阳、天狼星的亮度分别为 2， 1，
则( 26.70) ( 1.47) = 2.5 2 ，1

可得 2 10.092 10 0.092 10 = 10 = 10 × 10 ≈ 1.2 × 10 ，1
所以太阳与天狼星的亮度之比为 1.2 × 1010．
(2)因为 = + 5 32.616 ，

可得 = 32.616 × 10 5 ，
则 随着 增大而增大，

星体 视星等绝对星等
天狼星 1.47 1.44 2.91
织女星 0.00 0.55 0.55
牛郎星 0.75 2.19 1.44
又 2.91 < 1.44 < 0.55，
即 由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星，
所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星．
(3)若一颗恒星的视星等大于绝对星等，
则 > 0，
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可知 = 32.616 × 10 5 > 32.616，
所以该恒星距地球的距离大于 32.616 光年．
18.解：(1)在△ 中， = 2 ， 为 中点， 与 交于点 ，
在△ 中，由 = 2 ，
根据平面向量的减法法则可得 = 2( ) 1，则 = + 2 3 3
，
而 为 中点，则 = 2 ，
又 = ，因此 = 3 +
4 3 ，
又点 ， ， 共线，
4 3
于是3 + 3 = 1，所以 = 5；
(2)若∠ = 90°， = 2， = 3，
设 是 上一点，且 = ，
根据平面向量的减法法则可得 ( ) = = 0，
由(1)得 = 1 5
+ 2 ， 5 =
= 2 4 5 5 ，
2
由∠ = 90°， = 2， = 3，得 = = 4，
所以 = ( ) = = ( 2 4 5 5 )
= 2
2
5
4
5
= 25 × 3
2 45 × 4 =
2
5，
则 2的值为5．
19.(1)证明：由题意知 1 = 2 3， = 1 = 4， = 1 = 2，
则 21 + 2 = 21，故 AC 1 ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1，
故 AD⊥平面 1，
而 平面 1 ，
故平面 1 ⊥平面 1D.
(2)由 2 2 21 + 1 = ，可得 1 ⊥ 1，由(1)知 ⊥平面 1，
= 1所以 1 3
1
△ 1 = 3 × 2 ×
2×2 3 = 4 32 3 ，
1 1 2×4 4 又 1 = 1 = 3 △ = 3 × × 2 = 3，
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所以 = 3．
(3)在平面 1 内作 1 ⊥ ，垂足为 ；在平面 1内作 1 ⊥ ，垂足为 ，
连接 ，由 ⊥平面 1， 1 平面 1，故 AD⊥ 1 ，
因为 1 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
由(2)知 1 = = 3，因为 平面 ，故 C 1 ⊥ ，又 1 ⊥ ，
1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 平面 1 ，所以 ⊥ ，又 1 ⊥ ，
则∠ 1 为二面角 1 的平面角，
又 平面 ，故 C 1 ⊥ ，
2 5
由题意知直角三角形 1 中， = 2 5，sin∠ 1 = 1 = 5 ，
故 1 = 1 sin∠
4 5
1 = 5 ，
又 1 = 3，则 = 21 1 2 =
5
5 ，
所以 cos∠ 1 =
1
1
= 4，
1
故二面角 1 的余弦值为4．
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