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2024-2025 学年广西崇左市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 3, 2,1,5}， = { 2,1}，则集合 =( )
A. { 3} B. {5} C. { 3,5} D. { 3,2}
2.3| | + 7| |的最小值为( )
A. 3 21 B. 4 21 C. 21 D. 2 21
3.2020 2024 年我国居民人均可支配收入(单位：元)分别为 32189，35128，36883，39218，41314，则
这组数据的 75%分位数是( )
A. 36883 B. 38050.5 C. 39218 D. 41314
4.在平行四边形 中， = 2 ，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 1 1 2 2 2 D. 2
5.若 + = 3 4，则(1 )(1 )的值是( )
A. 1 32 B. 1 C. 2 D. 2

6.已知复数 满足 2 = 1 + 3 ，则| | =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
7.从正五棱锥 的 6 个顶点中任取 2 个顶点，则这 2 个顶点所在的直线与直线 是异面直线的概
率为( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 25 5 5 3
8.已知函数 ( ) = (2 2 )，当 = 时， ( )取得最大值 ，则函数 ( ) = log | + |的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A.经过 3 个点的平面有且只有一个 B.若直线 //平面 ，则平面 内有无数条直线与 平行
C.若平面 ， ， 满足 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若直线 ， ， 满足 ⊥ ， ⊥ ，则 //
10.如图，在一个古典概型的样本空间 与事件 ， ， 中， ( ) = 16， ( ) = 8， ( ) = 4， ( ) = 2， ( ∪
) = 10，则( )
A. ( ) = 18

B. ( ) = 18
C.事件 与事件 互斥
D.事件 与事件 相互独立
11.在△ 中， = 6， = 10，∠ = 120°， 为 的中点， 为△ 的垂心，则( )
A. | | = 19 B. = 35
C. cos∠ = 19 11 319 D.点 到直线 的距离为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )是奇函数，且 (2) = 27，则log3 ( 2) = ______．
13.已知上底面半径为 ，下底面半径为 2 的圆台的体积为 1，上底面边长为 ，下底面边长为 2 的正四棱

台的体积为 2，若该圆台与正四棱台的高相等，则 1 = ______．2
14 3.已知函数 ( ) = 2 cos( + )( > 0)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为 5， ( )在[2,4]上单调，
且 (2) + (4) = 0，则 = ______， 的最小正值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2025 年 5 月 31 日，贵港市港南区香江端午龙舟赛激情开赛，香江码头热闹非凡，鼓声阵阵、人潮涌动.
此次龙舟赛，还为观众带来了动力滑翔伞队表演、传统手工艺品展示、民俗技艺互动体验等活动，让大家
尽享节日的快乐.据统计，当天共吸引了约 3 万名观众前来观赛助威，网络平台观看人数更是超过 100 万人
次.某统计人员在现场随机抽取了 名观众对此次活动进行打分(满分 100 分)，将得到的数据按[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为 5 组，如下表所示：
分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 10 10 20
频率 0.2 0.3 0.3
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(1)求 ， ， ；
(2)请在图中画出频率分布直方图；
(3)估计这 名观众打分的平均数. (同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
16.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 3 + 2 + = 3 2的周长为 ，且 2 ．
(1)求 ．
(2)已知△ 的面积为 ．
①求 ， ；
②求△ 的外接圆的半径．
17.(本小题 15 分)
若函数 ( )的定义域为 ，值域为 ，且 ，则称 ( )为“子集函数”．
(1) 1证明：函数 ( ) = 2是“子集函数”．
(2)判断函数 ( ) = 2 1 1 是否为“子集函数”，并说明理由．
(3)若函数 ( ) = (2 + 6 )( > 0)

的定义域为[ 6 , 2 ]，且 ( )是“子集函数”，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， 为 的中点， 1 = = 4， 1 = 3 ．
(1)证明： ⊥ 1E.
(2)证明： 1 ⊥平面 ．
(3)求二面角 1 的正切值．
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19.(本小题 17 分)
甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得 1 分，对方得 0 分，
且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得 0 分，对方得 1 分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方 2
1 1
分时，领先者获胜，比赛结束.已知甲投篮命中的概率为2，乙投篮命中的概率为3，且每轮投篮相互独立.第
一轮甲先进行投篮．
(1)求第二轮投篮后乙获胜的概率；
(2)求第四轮投篮后甲获胜的概率；
(3)求第六轮投篮后甲获胜的概率．
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参考答案
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3.
4.
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11.
12.3
13.
14. 3 4 4
15.(1) 20 10根据题意可得 = 0.2 = 100，所以 = 100 = 0.1，所以 = 100 × 0.3 = 30；
(2)补全后的频率分布直方图如下：
(3)估计平均数为 55 × 0.1 + 65 × 0.1 + 75 × 0.2 + 85 × 0.3 + 95 × 0.3 = 81 分．
16.(1)因为 + = 3 22 ，
3 2
由正弦定理得 + = 2 ，
3 2
因为 + + = 3 + 2，所以 + 2 = 3 + 2，
得 = 2；
(2) 1①由题意得 △ = 2 = ，则 = 2，
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= 2
则有 + = 3 2 = 3，解得 = 2， = 1 或 = 1， = 2；2
2+ 2 2 3
②由余弦定理得 = 2 = 4，
则 = 1 cos2 = 74 ，
△ 4 2 2 14设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 2 = = 7，得 = 7 ．
17.(1) 1证明：若 ( ) = 2，则定义域为 = ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
值域为 = (0, + ∞)，
因为 ，
1
所以 ( ) = 2是“子集函数”；
(2) ( )不是“子集函数”，理由以下：
由于2 1 ≥ 0，可得 ≥ 0，
所以函数 ( )的定义域为[0, + ∞)，
因为 2 1 ≥ 0，所以 ( ) ≥ 1，即 ( )的值域为[ 1, + ∞)，
因为[ 1, + ∞) [0，+∞)，
所以 ( )不是“子集函数”；
(3) 因为 6 ≤ ≤
7
2，所以 6 ≤ 2 + 6 ≤ 6，
所以 12 ≤ sin(2 +

6 ) ≤ 1，
因为 > 0，
1
所以 ( )的值域为[ 2 , ]，
因为 ( )是“子集函数”，
所以[ 12 , ] [

6 , 2 ]，
1 2 ≥ 6
则 ≤ ，解得 0 < ≤ 3，2
> 0

故 的取值范围为(0, 3 ]．
18.解：(1)证明：在等边△ 中，因为 为 的中点，可得 ⊥ ，
在正三棱柱 1 1 1中，可得 1 ⊥平面 ，且 平面 ，
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所以 ⊥ 1，
因为 1 ∩ = ，且 1， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1E.
(2)证明：由(1)知 ⊥平面 1 1，且 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1 ，
在直角△ 1 中，由 = 2， 1 = 4，
可得 = 21 1 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
在直角△ 中，因为 1 = 3 ，可得 = 2， = 1，
可得 = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
在直角△ 1 1 中，由 1 1 = 4， 1 = 3，
可得 = 2 21 1 1 + 1 = 42 + 32 = 5，
因为( 5)2 + (2 5)2 = 52，
则满足 2 2 21 + = 1 ，
所以 1 ⊥ ，
因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(3)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
由(2)知 1 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 1 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ，且 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又因为 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 为二面角 1 的平面角，
在直角△ 中，由 = 4， = 1，可得 = 2 + 2 = 42 + 12 = 17，
又由(1)知 ⊥平面 1 1，且 平面 1 1，所以 ⊥ ，
2 3× 5 2 15
在直角△ 中，可得 = = ，17 = 17
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在直角△ 中，可得 tan∠ 1 =
1 = 2 5 = 51
1 2 15 3 ，
17
所以二面角 的正切值为 511 ．3
19.(1)设甲投中为事件 ，乙投中为事件 ，
要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，

所以第二轮投篮后乙获胜的概率 ( ) = ( ) ( ) = (1 1 ) × 1 = 12 3 6．

(2)要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为 3：1，则 或 ，

所以第四轮投篮后甲获胜的概率为 ( ) + ( )
= 12 × (1
1
2 ) × (1
1
3 ) ×
1 1 1
2 + (1 2 ) × (1 3 ) ×
1
2 ×
1 1
2 = 6．
(3)要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为 4：2，

则满足 或 或 或 ，

所以第六轮投篮后甲获胜的概率： ( ) + ( ) + ( ) + ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 (1 2 ) × 3 (1 3 ) × 2 × 2+ 2 (1 2 ) × (1 3 )(1 2 )(1 3 ) × 2 + (1 2 )(1 3 ) × 2 (1
1 1 1
2 )(1 3 ) × 2+
(1 1 )(1 1 1 1 1 1 72 3 )(1 2 )(1 3 ) × 2 × 2 = 72．
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